Question

Integração por substituição trigonométrica : dx dividido por raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado?

Answer 1

Vamos usar umas das substituição trigonométrica que diz:

quando tiver → a²-x²=  use: x = a*sen(u)
quando tiver → x²-a²=  use: x = a*Sec(u)
Ou se tiver  → x²+a² = use: x = a*Tg(u)

Como temos √1-x²

Seria o caso da substituição de a*Sen(u)

a = 1
x = 1*sen(u)

Derivando:

$\\ \frac{dx}{du} = 1*cos(u) \\ \\ dx=cos(u)du$

Entao ficamos:

∫$\frac{cos(u)du}{ \sqrt{1-sen^2(u)} }$

Mas sabemos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1

e que isolando:

cos²(x) = 1-sen²(x)

Portanto temos:


∫$\frac{cos(u)du}{ \sqrt{cos^2(u)} }$

Simplifica a raiz!

∫$\frac{cos(u)du}{cos(u)}$

Divindo cos(u) resultara em "1"

∫du = u + c

Tinhamos que:

Vamos converter "u" para a função em relação a "x" como recebemos a integral. Mas para isso tinhamos que:


X = sen(u)

Aplicando ambos os mebros da equação arcsen ficamos:

ArcSen(x) = ArcSen(sen(u))

Como arcsen é o inverso do sen podemos cancelar:

ArcSen(x) = u

∵ O resultado final é:

Arcsen(x) + C