Question

\int x ( 5 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 7 } d x

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int x ( 5 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 7 } d x=\dfrac{(5x^2-3)^8}{80}+C}}$

Solução:

$\displaystyle\int x ( 5 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 7 } d x=\displaystyle\int(5x^2-3)x\,dx$

Por substituição, tome $u=5x^2-3\Rightarrow du=10x\,dx\Rightarrow \dfrac{du}{10}=x\,dx$, substituindo na integral temos:

$\displaystyle\int(\overbrace{5x^2-3}^{u})^7\underbrace{x\,dx}_{\frac{du}{10}}=\displaystyle\int u^7\dfrac{du}{10}=\dfrac{1}{10}\displaystyle\int u^7\,du=\dfrac{1}{10}\cdot\left(\dfrac{u^{7+1}}{7+1}\right)=\dfrac{u^8}{80}+C$

Por fim, voltando a variável x, com $u=5x^2-3$, temos:

$\displaystyle\int x ( 5 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 7 } d x=\dfrac{(5x^2-3)^8}{80}+C$

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