Question

Inst. Mais – Um automóvel cujo preço à vista é de R$ 60.00,00 pode ser vendido a prazo de duas maneiras: sem entrada e apenas um pagamento dentro de um ano com juros simples de 5% ao mês, ou em 12 pagamentos mensais com juros simples de 5% ao mês. De quanto será diferença no montante pago utilizando-se o pagamento único em relação as 12 pagamentos mensais

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Macedo, que não estamos vendo qualquer diferença entre os montantes, pois eles são equivalentes.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se o pagamento for feito após um ano,com juros simples de 5% (ou 0,05) ao mês, então você utiliza a fórmula de montante em juros simples, que é esta:

M = C*(1+i*n) , em que "M" é o montante (é o que vamos encontrar); "C" é o capital (que, no caso, vai ser igual ao preço à vista do automóvel = R$ 60.000,00); "i" é a taxa de juros simples (que, no caso, é 5% ou 0,05 ao mês. Como um ano tem 12 meses, então a taxa anual será de 60% ou 0,60, pois 0,05*12 = 0,60) e "n" é o tempo (que, no caso, vai ser "1", pois já consideramos a taxa de juros de 60%ou 0,60 para um ano inteiro). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

M = 60.000*(1+0,60*1)
M = 60.000*(1+0,60) --- ou:
M = 60.000*(1,60) --- ou apenas:
M = 60.000*1,60 ---- veja que este produto dá exatamente 96.000. Assim:
M = 96.000,00 <--- Este será o pagamento feito de uma única vez, após um ano, considerando-se juros simples de 5% ao mês (ou 60% ao ano, pois 12*5% = 60%. Note que um ano tem 12 meses).

ii) Agora vamos ver a outra modalidade, que seria o pagamento ser feito em 12 parcelas mensais e iguais (PMT), também considerando-se juros simples de 5% ao mês.
Note que, para isso, teríamos, primeiro que calcular o coeficiente de financiamento (CF) para 12 meses, com uma taxa de juros simples de 5% (ou 0,05) ao mês.
E a fórmula para calcularmos as 12 prestações mensais e iguais (PMT) será esta:

PMT = VA*CF , em que PMT é o valor de cada uma das 12 prestações mensais e iguais; VA é o valor atual (que, no caso será R$ 60.000,00) e CF é o coeficiente de financiamento, que ainda vamos calcular abaixo.
Veja que a fórmula para calcular o coeficiente de financiamento, considerando-se juros simples,  será esta:

CF = i/[1 - 1/(1+i*n)] ---- fazendo-se as devidas substituições, teremos:
CF = 0,05/[1 - 1/(1+0,05*12)]
CF = 0,05/[1 - 1/(1+0,60)
CF = 0,05/[1 - 1/1,60] ---- veja que 1/1,60 = 0,625. Assim:
CF = 0,05/[1 - 0,625]
CF = 0,05/[0,375] --- ou apenas:
CF = 0,05/0,375 ---- veja que esta divisão dá "0,133333....." bem aproximado. Logo:
CF = 1,33333...... ---- note que 1,33333..... tem sua fração geratriz igual a "2/15".

Agora vamos para a fórmula de PMT, que é:

PMT = VA*CF ----- substituindo-se VA por "60.000" e "CF" por "2/15", teremos:
PMT = 60.000*(2/15)
PMT = 60.000*2/15
PMT = 120.000/15
PMT = 8.000,00 <--- Este seria o valor de cada uma das 12 prestações mensais e iguais.

Ora, mas como vão ser pagas 12 prestações no valor de R$ 8.000,00 cada uma, então:

12*8.000,00 = 96.000,00 <--- Veja que o montante, no final, é o mesmo, sendo indiferente o pagamento ser feito de uma única vez após um ano (12 meses) ou em 12 parcelas mensais e iguais.

Por isso é que informamos que não vai haver nenhuma diferença entre as duas modalidades de pagamento.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.