Question

Inspirado nesta imagem, um professor propôs a construção da figura a seguir, em que as semicircunferências de centros A e B possuem, cada uma, raio de medida R. A semicircunferência maior possui centro no ponto o e a circunferência de centro C tangencia estas três semicircunferências. С . A B Com base nessas informações, á área da região cinza, em função de R, é igual a

como Fasso o calculo ?​

Answer 1

Explicação passo a passo:

ok... Olha o anexo pra ficar mais claro o que falarei aqui.

Primeira coisa que fiz foi o seguinte... reparei que temos 3 semicircunferências e uma circunferência inteira... logo, o raio das semicircunferências com centro em "A" e "B" vale R e o raio da semicircunferência com centro em "O" vale 2R... basta olhar que o raio da semicircunferência com centro em "O" é igual ao diâmetro das semicircunferências... entendido isso, seguimos da seguinte forma...

montei um triângulo isósceles (olhar o anexo)... Os lados desse triângulo mede R+r, R+r e 2R

em que r é o raio da circunferência com centro em C

tracei a altura do triângulo(também é mediana) e vi que o tamanho da altura é igual a 2R-r(olhar o anexo)

agora basta usar Pitágoras... temos que:

$R^{2}+(2R-r)^{2}=(R+r)^{2}$

resolvendo essa equação teremos que $r=\frac{2R}{3}$

agora basta, achar a área da semicircunferência com centro em "O" e subtrair com as semicircunferência com centro em "A" e "B" e a circunferência com centro em "C"

vamos lá

$A1/2=2R^{2}\pi$

$A2+A3=R^{2}\pi$

$A4=\frac{4R^{2}\pi }{9}$

agora é só subtrair

$R^{2} \pi - \frac{4R^{2}\pi }{9} = \frac{5R^{2}\pi }{9}$

trabalhosa não?