Question

Inspirada nos chamados Triângulos de Sierpinski,
uma artesã deseja construir um azulejo triangular de
cerâmica e, para isso, faz um esboço de como deve ficar
a peça pronta. Para a construção do esboço, a partir de
um triângulo equilátero de lado 4 cm, ela ligou, dois a dois,
os pontos médios dos lados, gerando quatro triângulos,
e pintou o triângulo central de branco. Em seguida,
ela repetiu o processo de ligar os pontos médios dos
três triângulos das extremidades (isso é, os triângulos
que não foram pintados de branco no passo anterior),
gerando, em cada um deles, quatro triângulos menores,
onde, novamente, pintou de branco o triângulo central
de cada região, como mostra a figura. Para estimar os
custos da obra, a ceramista precisa determinar a área
do azulejo pronto a ser pintada de cada cor com base na
área do esboço.
Qual é a área a ser pintada de preto, em cm2, no esboço?
a)
$\frac{7 \sqrt{3} }{4}$
b)
$\frac{9 \sqrt{3} }{4}$
c)
$\frac{13 \sqrt{3} }{4}$
d)
$3 \sqrt{3}$
e)
$4 \sqrt{3}$
É URGENTE ​

Answer 1

A área a ser pintada de preto, em cm², no esboço, é:

B) 9√3/4 cm²

Explicação:

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo maior, presente na primeira figura.

Como ele é equilátero e o lado mede 4 cm, sua área é:

A = L²√3

        4

A = 4²√3

        4

A = 16√3

        4

A = 4√3 cm²

Na segunda figura, cada triângulo tem 1/4 dessa área. Logo:  

4√3 ÷ 4 = √3 cm²

Na terceira figura, cada triângulo pequeno das extremidades tem 1/4 dessa área. Logo:

√3 ÷ 4 = √3/4 cm²

Agora, basta contarmos quantos triângulos pequenos pretos há nessa última figura e multiplicar por sua área.

Temos 9 triângulos pequenos pretos.

Logo: 9 x √3/4 = 9√3 cm²

                               4