Question

(Insper) Um empresário precisa comprar um total de 12 automóveis para sua empresa. Os modelos selecionados foram: Honda Civic, Astra, Toyota Corolla e Santana. Sabendo-se que podem ser comprados de zero a 12 veículos de cada marca, de quantas maneiras o empresário poderá adquirir os 12 automóveis?


Eu respondi do seguinte modo:

Como tenho que comprar doze carros, e em cada um tenho a possibilidade de escolher 4 modelos, tenho 4^12, no entanto O GABARITO É 455.

Alguém poderia me ajudar? Obrigada!!

Answer 1

Combinação com repetição [C(n+k-1,k)]: é usada para saber a quantidade de grupos cuja quantidade de elementos é k; e cada um deles pode se repetir e ser de uma das n categorias.

Temos 4 categorias e 12 elementos, então a fórmula fica assim:
C(4+12-1, 12) = 15!/(12!(15-12)!)
C(4+12-1, 12) = 15!/(12!*3!)
C(4+12-1, 12) = (15*14*13*12!)/(12!*3*2*1)
C(4+12-1, 12) = 5*7*13
C(4+12-1, 12) = 455

O empresário poderá adquirir os 12 automóveis de 455 maneiras.

No seu raciocínio, o erro está em considerar que o grupo de 6 corollas+6 santanas é diferente do grupo de 6 santanas+6 corollas; mas perceba que os dois grupos são iguais. A fórmula da combinação com repetição elimina esse excesso.