Question

(Insper-SP) Considere um número complexo Z, de módulo 10, tal que z= (K=i)^2, em que K é um número real. Determine a parte real desse número complexo

Answer 1

Analisando este número complexo, temos que a parte real deste número é 4√6 - 1.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte número complexo:

$z=(k+i)^2$

Então abrindo com a distributiva:

$z=(k+i)^2= k^2+2ki-1=(k^2-1)+i(2k)$

Assim temos a parte real e a parte complexa do número z:

Real: k² - 1.

Imaginaria: 2k

Sabemos que o modulo dele é 10, então a soma das partes ao quadrado vai ser igual a 10 ao quadrado:

$(k^2-2)^2+(2k)^2=100$

$k^4-4k^2+4+4k^2=100$

$k^4+4=100$

$k^4=100-4$

$k^4=96$

$k^2=\sqrt{96}$

$k^2=4\sqrt{6}$

Então substituindo este valor na parte real de z:

Real: $k^2-1=4\sqrt{6}-1$.

Assim a parte real deste número é 4√6 - 1.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Z = ( K+i)²

Escrevendo o número complexo na forma algébrica

Z= K² + 2Ki + i²

Z= K² + 2Ki - 1

Z=( K² - 1) +2K.i

Calculando o modulo de Z

formula

$|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$

onde

a → coeficiente da parte real  ( K² - 1 )

b → coeficiente da parte imaginaria ( 2K )

$|Z|=\sqrt{(k^2-1)^2+(2k)^2}\\ \\ |Z|=\sqrt{k^4-2k^2+1+4k^2} \\ \\ |Z|=\sqrt{k^4+2k^2+1} \\ \\ |Z|=\sqrt{(k^2+1)^2} \\ \\ |Z|=k^2+1$

Se | Z | = 10

k² + 1 = 10

k² = 10 -1

k² = 9

Então substituindo este valor na parte real de z:

k² -1 → 9 - 1 =8 → parte real