Question

Insira no campo de entrada do GeoGebra a equação ((x-xo)²)/b²+((y-yo)²)/a²=1 . Observe que o “xo” , “yo”, “a” e o “b” serão números representados por controles deslizantes. Altere as configurações de “a” e “b” para o intervalo de 1 a 100. Lembre-se a>b. a) Considere xo = -1, yo = 2, a = 10 e b = 9. Encontre o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. De forma manual. b) Encontre o semieixo maior, o semieixo menor, semi distância focal, eixo maior, eixo menor e a distância focal. De forma manual. ​

Answer 1

Vamos trabalhar com a equação dessa elipse, sendo que a mesma foi transladada (seu centro não coincide com a origem do plano cartesiano), da seguinte forma (apenas substituindo algumas incógnitas por algo mais compreensível):

$\mathsf{\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}} = 1}$

QUESTÃO A:

Vamos substituir valores passados na questão, para encontrarmos a equação-padrão da elipse que iremos trabalhar:

$\mathsf{\dfrac{(x-(-1))^{2}}{9^{2}} + \dfrac{(y-2)^{2}}{10^{2}} = 1}\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{(x+1)^{2}}{81} + \dfrac{(y-2)^{2}}{100} = 1}}$

• Centro da Elipse

O centro da elipse é definido pelo par ordenado (h, k). Perceba que os valores quando desenvolvidos na equação, tiveram seus sinais invertidos:

$\boxed{\mathsf{(-1, 2)}}$

• Vértices da Elipse

Os vértices da elipse se encontram nos pares ordenados (h, k ± a) – novamente lembrando que o valor de a quando a equação foi desenvolvida, foi elevado ao quadrado, logo, o valor de a é √100 = 10 :

$\mathsf{V_{1} = (h, k+a)}\\\mathsf{V_{1} = (-1, 2+10)}\\\boxed{\mathsf{V_{1} = (-1, 12)}}\\\\\\\mathsf{V_{2} = (h, k-a)}\\\mathsf{V_{2} = (-1, 2-10)}\\\boxed{\mathsf{V_{2} = (-1, -8)}}$

• Focos da Elipse

Os focos da elipse estão nos pares ordenados (h, k ± c). Para obtermos o valor de c (semi-distância focal), podemos usar Pitágoras:

$\mathsf{a^2 = b^2 + c^2}\\\mathsf{10^2 = 8^2 + c^2}\\\mathsf{c^2 + 81 = 100}\\\mathsf{c^2 = 100-81}\\\mathsf{c = \sqrt{19}}$

Agora encontramos os focos:

$\mathsf{F_{1} = (h, k+c)}\\\boxed{\mathsf{F_{1} = (-1, 2+\sqrt{19})\approx (-1;~6{,}36)}}\\\\\\\mathsf{F_{2} = (h, k-c)}\\\boxed{\mathsf{F_{2} = (-1, 2-\sqrt{19})\approx (-1;~ -2{,}36)}}$

• Excentricidade da elipse

A excentricidade da elipse é o grau de achatamento da elipse, uma valor entre 0 e 1, dada pela relação:

$\mathsf{e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}}$

E como já sabemos o valor de c, basta substituirmos:

$\mathsf{e=\dfrac{\sqrt{19}}{10}}\\\\\mathsf{e = \dfrac{4{,}36}{10}}\\\\\boxed{\mathsf{e \approx 0{,}44}}$

QUESTÃO B:

• Semieixo maior

O semieixo maior, não é nada mais que o valor de a:

$\mathsf{a^2 = 100}\\\mathsf{a = \sqrt{100}}\\\boxed{\mathsf{a = 10}}$

• Semieixo menor

O semieixo menor corresponde ao valor de b:

$\mathsf{b^{2} = 81}\\\mathsf{b = \sqrt{81}}\\\boxed{\mathsf{b = 9}}$

• Semi-distância focal

A semi-distância focal, é a distância entre o centro e os focos, nós a chamamos de c, podemos usar Pitágoras para calcula-la:

$\mathsf{a^2 = b^2 + c^2}\\\mathsf{10^2 = 8^2 + c^2}\\\mathsf{c^2 + 81 = 100}\\\mathsf{c^2 = 100-81}\\\boxed{\mathsf{c = \sqrt{19} \approx 4{,}36}}$

• Eixo maior

O eixo maior é a distância entre os vértices da elipse, ou seja o dobro do semieixo maior (a):

$\mathsf{E_M = 2a}\\\mathsf{E_M = 2\cdot 10}\\\boxed{\mathsf{E_M = 20}}$

• Eixo menor

O eixo menor, é dobro do semieixo menor (b):

$\mathsf{E_m = 2b}\\\mathsf{E_m = 2\cdot 9}\\\boxed{\mathsf{E_m = 18}}$

• Distância focal

É a distância entre os dois focos da elipse, dado com o dobro da semi-distância focal (c):

$\mathsf{D_f = 2c}\\\boxed{\mathsf{D_f = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72}}$

*Em anexo está uma visualização dessa elipse no Geogebra!

Espero ter ajudado :)

Answer 2

Vamos là.

((x - xo)²)/b²+((y - yo)²)/a² = 1

((x + 1)²)/9²+((y -2)²)/10² = 1

centro: (-1, 2)

os vértices: (-1, -8), (-1, 12)

os focos: (-1, 2-√19), (-1, 2 + √19)

excentricidade: √19/10

semieixo maior: 10

semi eixo menor: 9

semi distância focal:  c^2 = 10^2 - 9^2 =  19, c = √19

eixo maior: 20

eixo menor: 18

distância focal:  2c = 2√19