Question

Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 5822, obtém se uma sequência. Determine o 5ª Termo dessa sequência (Com Resolução pfv):

a)648
b)78
c)105
d)354
e)245​

Answer 1

O exercício está dizendo que, temos uma Progressão Geométrica de 7 termos, você conhece apenas o primeiro e o último. A ideia é basicamente encontrar a razão desta progressão. Com isso consegue achar todos os termos da sequência.

Apenas um coment­ário. O correto é entre 8 e 5832, não 5822.

O termo genérico de uma P.G. é dado por:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Onde:

$a_1$ é o primeiro termo;

$a_n$ é o enésimo termo;

$n$ é o número do termo e

$q$ é a razão.

Sabendo que o primeiro termo é 8 e o sétimo termo é 5832. Podemos calcular quanto vale a razão q:

$a_7 = a_1 \cdot q^{7-1}$

$5832 = 8 \cdot q^{6}$

Passa o 8 dividindo:

$q^6 = \dfrac{5832}{8}$

$q^6 = 729$

Agora para cortar o expoente 6, precisamos aplicar a raiz sexta aos dois lados da equação:

$\sqrt[6]{q^6} = \sqrt[6]{729}$

$q = \sqrt[6]{729}$

Agora para saber quanto é essa raiz, fatoramos o 729:

$\left[\begin{array}{c|c}729&3\\243&3\\81&3\\27&3\\9&3\\3&3\\1\end{array}\right]$

Ou seja, 729 é 3 elevado à 6. Substituindo:

$q = \sqrt[6]{3^6}$

A raiz vai cortar com o expoente 6:

$q = 3$

Agora, sabendo a razão da progressão, fica simples encontrar o 5° termo:

$a_5 = a_1 \cdot q^{5-1}$

$a_5 = 8 \cdot 3^{4}$

$a_5 = 8 \cdot 81$

$\boxed{a_5 = 648}$

Alternativa A