Question

Inserem-se, entre os números 1 e 1024 n números reais positivos de forma que a sucessão obtida seja um P.G. de razão menor que 2. Qual o menos valor de n?

Answer 1

Se inserimos n números entre 1 e 1024 teremos uma PG de n + 2 termos.

Sabemos que: $a_{n+2}=a_1.q^{n+2-1}=a_1.q^{n+1}$
Ou ainda:
$1024=q^{n+1}$

Queremos que $q<2$, logo $q^{n+1}<2^{n+1}$
Dessa forma: $1024=2^{10}<2^{n+1}$

Assim sendo teremos: $10<n+1$
$n>9$

Dessa forma o menor valor de n será 10.