Question

inequacao -x2 + 2x - 1 >= 0 passo a passo por favor questao C

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{\mathsf{-x^2+2x-1\ge 0}}$


Vamos fatorar o lado esquerdo da inequação acima. Para isso, vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=-1}\\\mathsf{b=2}\\\mathsf{c=-1} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{\Delta=4-4}\\\\ \mathsf{\Delta=0}$


Como o discriminante $\mathsf{\Delta}$ deu zero, as duas raízes são iguais:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2+\sqrt{0}}{2\cdot (-1)}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-2-\sqrt{0}}{2\cdot (-1)}}\end{array}$

            $\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-2}{-2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-2}{-2}}\\\\ \mathsf{r_1=1}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes iguais)} \end{array}$


Então, fatorando o lado esquerdo, a inequação fica

$\mathsf{-1\cdot (x-r_1)(x-r_2)\ge 0}\\\\ \mathsf{-(x-1)(x-1)\ge 0}\\\\ \mathsf{-(x-1)^2\ge 0}\\\\ \mathsf{(x-1)^2\le 0\qquad\quad(i)}$


Observando a última linha acima, vemos que a desigualdade só é satisfeita quando

$\mathsf{x-1=0}\\\\ \mathsf{x=1}\qquad\quad\checkmark$


Note que se $\mathsf{x}$ for diferente de $\mathsf{1},$ a inequação nunca será satisfeita, pois estaríamos calculando o quadrado de um número diferente de zero, cujo resultado sempre é positivo.


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{1\}}.$


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