Question

Inequação quadrática

Para que valores de a temos

$2 x^{2} -ax+2a\ \textgreater \ 0$

qualquer que seja o valor de $x$

(Obs: A resposta é 0 < a < 16, porém eu gostaria de uma explicação sobre como resolver o exercício).

Answer 1

Para que 2x² - ax + 2a > 0 , devemos ter Δ < 0

(a)² - 4.2.2a < 0

a² - 16 a < 0

a² - 16a = 0

a(a - 16) = 0

a = 0 ou a - 16 = 0 => a = 16

-----------------0................16---------------
         +                 -                    +

S = { a ∈ IR/  0 < a < 16 }

Answer 2

 Inicialmente, considere a função abaixo:

$\mathbf{f(x) = ax^2 + bx + c}$

 Sabemos que o vértice da função é dado por:

$\mathbf{V = \left ( - \frac{b}{a}, - \frac{\Delta}{4a} \right )}$

 De acordo com o enunciado, para qualquer valor de "x", (2x² - ax + 2a) deve ser MAIOR que zero. Ou seja, f(x) que é a imagem deve ser maior que zero, e neste caso, $\mathbf{- \frac{\Delta}{4a} > 0}$.

 Isto posto, temos que:

$\\ \mathsf{- \frac{\Delta}{4a} > 0 \Rightarrow - \Delta > 0 \Rightarrow \boxed{\mathsf{\Delta < 0}}}$

 
  Por conseguinte, devemos determinar Delta. Veja:

$\\ \mathsf{\Delta < 0} \\\\ \mathsf{b^2 - 4ac < 0} \\\\ \mathsf{(- a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2a < 0} \\\\ \mathsf{a^2 - 16a < 0}$

 Resolvendo a equação $\mathbf{a^2 - 16a = 0}$,

$\\ \mathsf{a^2 - 16a = 0} \\ \mathsf{a(a - 16) = 0} \\ \mathsf{a = 0} \\ \mathsf{a = 16}$

 Estudando o sinal da desigualdade $\mathbf{a^2 - 16a = 0}$, concluímos que:


__+___(0)____-____(16)___+_____


Associando "<" ao "-", temos, de fato que $\boxed{\boxed{\mathsf{S = 0 < a < 16}}}$.