Question

INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

( X - 2 ) ² < 2x - 1

Answer 1

Perceba que temos um produto notável que nos dará um polinômio de segundo grau (onde a maior incognita tem o expoente elevado a 2), sabemos também que podemos achar as raízes de equações do segundo grau, para fazer isso temos igualar um dos lados a zero, então teremos que expandir está expressão:

(x - 2)² < 2x - 1
x² - 2.2.x + 2² < 2x - 1 
x² -4x + 4 < 2x - 1
x² - 4x + 4 - 2x + 1 < 0
x² -6x + 5 < 0 

Agora, com a equação do segundo grau em mãos, basta acharmos as raízes: 
Δ = b² - 4 . a . c 
Δ = (-6)² - 4 . 1 . 5
Δ = 36 - 20
Δ = 16, √Δ = √16 = 4

x = (- b  ± √Δ) / 2a
x = (-(-6) ± 4)/ 2
x' = (6 + 4)/ 2 = 5
x" = (6 - 4)/ 2 = 1 

Agora nós temos as duas raízes para quando a equação do segundo grau for igual a 0, mas queremos saber quando ela é menor que 0. 
Para isso, precisamos lembrar de um conceito:
-> Se a concavidade da parábola for voltada para cima em uma inequação: a parte interior a parábola será menor que 0 e a exterior maior que 0.
-> Se a concavidade da parábola for voltada para baixo em uma inequação: a parte interior da parábola será maior que 0 e a exterior menor que 0. 

Como temos a = 1 e consequentemente a > 0, a parábola tem concavidade para cima, sendo as raízes o que delimita os extremos da parábola, então o que tiver dentro do intervalo dessas raízes ( ou seja, dentro da parábola) será negativo, logo:
S = { x ∈ R / 1<x<5 }