Question

Inequação do 2° grau

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Antes de tudo, perceba que a inequação do problema se trata de uma fração e o que importa é apenas saber em qual momento ela é positiva. Para que isso aconteça, existem dois casos. O primeiro caso é quando o número de cima e o número debaixo da fração são positivos, onde a divisão entre eles resulta em um número positivo. O outro caso é quando os dois números são negativos, resultando também em um número positivo. A ideia então será descobrir em quais valores de x esses números são positivos ou negativos.

Sabendo disso, perceba também que tanto o numerador quanto o dominador são funções, podendo ser trabalhadas individualmente. Vamos chamar tudo em cima da fração como f(x) e tudo embaixo da fração como g(x). Daí, teremos

f(x) = 4x² + 25x + 34

g(x) = 2x² + 9x + 7

Para saber os intervalos de "x" em que essas funções são positivas ou negativas, você precisa saber quais suas raízes e ter em mente o gráfico de uma parábola. Para a função f(x), utilizamos a fórmula de Bhaskara e iremos descobrir que as raízes serão -17/4 e -2. E para a função g(x), as raízes serão -7/2 e -1.

Agora, como os coeficientes que acompanha o x² nessas funções são positivos, significa a parábola é de "boca para cima". Com isso em mente, podemos representar o sinal das funções (positivas ou negativas) com o seguinte diagrama:

f(x): ___+__(-17/4)___-____(-2)____+_____

g(x):______+_____(-7/2)___-___(-1)___+__

Entenda esse digrama da seguinte forma: Para f(x) por exemplo, quando x é menor que (-17/4), o valor da função é positiva, por isso coloquei o sinal de mais (+). Se x tiver valor entre (-17/4) e (-2), a função vai ser negativa, por isso o sinal de menos (-) entre esses dois valores. Agora, quando x é maior que (-2), a função é positiva, por isso o sinal de mais (x).

Voltando no início da resolução, temos que analisar os dois casos da fração. Quando f(x) e g(x) são positivos AO MESMO TEMPO? Resposta: quando x for menor que (-17/4) ou maior que (-1). Outro caso: quando f(x) e g(x) são negativos AO MESMO TEMPO? Resposta: quando x for maior que (-7/2) e menor que (-2). E finalmente: quando a fração é f(x)/g(x) é positiva? Em um desses casos, ou seja, a união entre eles.

Portanto, a inequação será positiva quando x < -17/4 ou quando -7/2 < x < -2 ou quando x > -1. A resposta portanto é letra "c".