Question

Indução Matemática
prove que 2×n <= n².

Answer 1

Podemos provar isso por reductio ad absurdum, ou seja se !A(negação de A) é falso, logo A é verdadeiro.
Mas primeiro, repare que:
2n <= n²   logo 2n <= n*n
Pegamos a negação dessa afirmação
2n > n*n
repare que n deve ser >0, pois se não o primeiro lado da equação ficaria negativo, e o segundo positivo, sendo que um número negativo nunca é maior que um positivo(E se fosse zero, teria que 0 seria maior que 0, o que é obviamente falso).
Podemos também reescrever a equação assim:
n=x
2n > xn
Repare que o x precisa também ser maior que dois, pois se não, seria  necessariamente menor que 2n.

Por algebra, podemos simplificar a inequaçãode modo a cortar os n's:
2n > n*n
2> n ou n <2


Repare que anteriormente obtivemos que n>2, o que contradiz com n<2, logo, 2n <= n² 

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

É simples verificar que se n = - k, com k natural, então 2n ≤ n².

Para n natural:

n = 2p

2(2p) ≤ (2p)²

4p ≤ 4p²

p ≤ p²

n = 2p + 1

2(2p + 1) ≤ (2p + 1)²

4p + 2 ≤ 4p² + 4p + 1

4p + 1 ≤ 4p² + 4p

1 ≤ 4p², sendo p natural.