Question

Indique o inteiro mais proximo da area do trapezio PQRS de altura 4, ilustrado na figura ao lado, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 10, M é o ponto médio de AB e de PQ, e N é o ponto médio de BC e de RS. (Dado: use aproximação √2 ≈ 1,41)

Answer 1

Olá,

Para calcular a área de um trapézio utilizamos a seguinte fórmula:

$A = \frac{(B+b).h}{2}$

sendo

A --> área

B --> base maior

b --> base menor

h --> altura

Temos que, no trapézio PQRS:

B --> base maior = PS

b --> base menor = QR

h --> altura = 4

Como o lado do quadrado mede 10, M é o ponto médio de AB e de PQ e N é o ponto médio de BC e de RS, segue que:

AP = AM = MQ = QB = 2,5

BR = RN = NS = SC = 2,5

Dessa forma, precisamos calcular PS e QR.

Note que QBR é um triângulo retângulo de catetos QB = BR = 2,5. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a medida de sua hipotenusa QR. O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Logo,

$QR^{2} = QB^{2} + BR^{2}$

$QR^{2} = 2,5^{2} + 2,5^{2}$

$QR^{2} = 6,25 + 6,25$

$QR^{2} = 12,5$

$QR = \sqrt{12,5}$

$QR = \sqrt{\frac{125}{10}}$

$QR = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{10}}$

$QR = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}$

$QR = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$QR = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Fazendo o mesmo processo para calcular PS. Segue:

Note que PBS é um triângulo retângulo de catetos PB = BS = 7,5. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a medida de sua hipotenusa PS. Logo,

$PS^{2} = PB^{2} + BS^{2}$

$PS^{2} = 7,5^{2} + 7,5^{2}$

$PS^{2} = 56,25 + 56,25$

$PS^{2} = 112,5$

$PS = \sqrt{112,5}$

$PS = \sqrt{\frac{1125}{10}}$

$PS = \frac{\sqrt{1125}}{\sqrt{10}}$

$PS = \frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}$

$PS = \frac{15}{\sqrt{2}}$

$PS = \frac{15\sqrt{2}}{2}$

Substituindo esses valores na fórmula da área, obtemos:

$A = \frac{(PS+QR).h}{2}$

$A = \frac{(\frac{15\sqrt{2}}{2} +\frac{5\sqrt{2}}{2}).4}{2}$

$A = (\frac{20\sqrt{2}}{2}).2$

$A = 20\sqrt{2}$

$A = 20.1,41$

$A = 28,2$

Logo, a área do trapézio PQRS é, aproximadamente, 28,2. 

Então, o inteiro mais próximo desse valor é 28.

Espero ter ajudado. Abraços =D

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Laura, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que o quadrado ABCD tem lado "10" e esse quadrado está dividido em um trapézio PQRS. De acordo com as informações dadas sobre "M" ser o ponto médio de AB e de PQ e de "N" ser o ponto médio de BC e de RS, então cada divisão do lado do quadrado de lado "10" medirá "2,5". E assim, o trapézio PQRS (de altura igual a 4) terá os seus lados, cada um deles, medindo "5" (2,5 + 2,5 = 5).

ii) Ao construir o trapézio PQRS, cujos lados PQ e RS medem, cada um "5" unidades, e considerando que a altura é "4", então, ao traçar a altura desse trapézio,  vamos formar dois triângulos retângulos cuja hipotenusa medirá "5" e um dos catetos medirá "4" (que é a altura). Então a medida do outro cateto será "x", pois:

5² = 4² + x² ---- desenvolvendo, teremos:

25 = 16 + x² ---- passando "16" para o 1º membro, teremos:

25-16 = x²

9 = x² --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

x² = 9 ---- isolando "x", teremos:

x = ± √(9) ---- como √(9) = 3, teremos:

x = ± 3 ----- mas como um cateto não tem medida negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

x = 3 <--- Esta é a medida do outro cateto dos dois triângulos retângulos.

iii) Agora veja: falta apenas calcularmos a medida da base menor e assim, encontraremos qual é a medida também da base maior. Note que a medida QR será dada pelo triângulo retângulo logo acima dela. Temos os catetos "2,5" e "2,5". Falta, portanto, apenas calcular o valor da hipotenusa (QR) e teremos as medidas de todas as duas bases do trapézio. Então teremos que:

(QR)² = (2,5)² + (2,5)²

(QR)² = 6,25 + 6,25 ---ou apenas isto (note que 6,25+6,25 = 2*6,25):

(QR)² = 2*6,25 ---- isolando QR teremos:

QR = ± √(2*6,25) ----- note que isto é equivalente a:

QR = ± √(2)*√(6,25) ---- como a medida não é negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

QR = √(2)*√(6,25) ----- note que √(2) = 1,41 (o que foi recomendado pelo enunciado da questão) e que √(6,25) = 2,5 . Assim, ficaremos com:

QR = 1,41*2,5 ----- efetuando este produto teremos "3,53" (bem aproximado). Logo:

QR = 3,53 <--- Esta seria a medida da base menor.

E a base maior PS será (lembre-se que cada cateto encontrado antes media "3"):

PS = 3 + 3,53 + 3

PS = 9,53 <--- Esta será a medida aproximada da base maior.

iv) Agora, finalmente, vamos encontrar qual é o inteiro mais próximo da área do trapézio PQRS. Lembre-se que a área (A) de um trapézio é dada assim:

A = (b + B)*h/2 ----- em que "A" é a área do trapézio, "b" é a base menor, "B" é a base maior e "h" é a altura. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

A = (QR + PS)*h/2 ----- substituindo-se QR por "3,53"; PS por "9,53" e h por "4", teremos:

A = (3,53 + 9,53)*4/2

A = (13,06)*4/2 ----- simplificando-se "4" por "2" iremos ficar apenas com:

A = 13,06*2 ---- note que este produto dá "26,12". Logo:

A = 26,12 <--- Esta é a área aproximada do trapézio.

v) Como é pedido o inteiro mais próximo da área do trapézio, então vemos que "26" é o inteiro mais próximo de "26,12". Logo:

26 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o inteiro mais próximo da área do trapézio da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.