Question

indique o domínio e a imagem da função g=x²+4x-6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alexsandra, que a resolução é simples.
Pede-se o domínio e o conjunto-imagem da função abaixo:

g(x) = x² + 4x - 6

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Quanto ao domínio da função g(x) = x² + 4x - 6.

Veja: a função acima NÃO tem qualquer restrição a que "x" possa assumir qualquer que seja o valor real.
Logo, o domínio da função dada serão todos os Reais.
Se quiser, você poderá apresentar o domínio (D) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R}  <--- Esta é a resposta quanto ao domínio. Ou seja, a função dada aceita qualquer valor real que "x" venha a assumir.

ii) Quanto ao conjunto-imagem

Agora note: o conjunto-imagem de funções do 2º grau será ou maior ou menor do que o "y" do vértice (yv).
Será menor do que "yv" se a função tiver um ponto de máximo, o que implica em que o termo "a" seja menor do zero (o termo "a" é o coeficiente de x²).
E será maior do que "yv" se a função tiver um ponto de mínimo, o que implica em que o termo "a" seja maior do que zero.
Como a função da sua questão tem o termo "a'' positivo (>0), então o conjunto-imagem da função dada [g(x) = x² + 4x - 6] será maior ou igual ao "y" do vértice (yv), que é encontrado assim:

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- substituindo-se "b" por "4", "a' por "1" e "c" por "-6", teremos:

yv = - (4² - 4*1*-6))/4*1
yv = - (16 + 24)/4
yv = - (40)/4 --- ou, o que é a mesma coisa;
yv = -40/4
yv = - 10  <--- Este é o "y" do vértice (yv) da função da sua questão .

Assim, o conjunto-imagem da função será o conjunto de todos os g(x) pertencentes aos Reis, tal que g(x) seja maior ou igual a "-10".
Ou seja, será este: 

Im = {g(x) ∈ R | g(x) ≥ -10} ----- Ou seja, o conjunto-imagem é o conjunto dos "g(x)" pertencentes aos Reais, tal que g(x) é maior ou igual a "-10".

iii) Assim, resumindo, temos que o conjunto que dá o domínio (D) e o conjunto-imagem (Im) da função dada serão:

Domínio -----> D = {x ∈ R} .
Conjunto-imagem ----> Im = {g(x) ∈ R | g(x) ≥ -10}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.