Question

Indique a solução do seguinte sistema linear

Answer 1

Resposta:

(-2,3)

Explicação passo-a-passo:

x+2y=4

2x+y=-1 (*-2)

x+2y=4

-4x-2y=2

-3x=6

x= -6/3

x= -2

-2+2y=4

2y=4+2

2y=6

y=6/2=3

Answer 2

Resposta

$x = -2\\y = 3$

Raciocínio

Um sistema linear nada mais é do que um conjunto de soluções para determinadas variáveis que permite que encontremos os valores de todas. A vantagem do sistema linear é que você pode multiplicar equações e somá-las, mantendo ainda a consistência das variáveis.

Seu principal objetivo, para este tipo de problema, é isolar cada uma das variáveis do sistema. Há duas maneiras de fazer isso.

(I) Isolando e substituindo variáveis

Isolemos o x na primeira equação:

$x + 2y = 4\\x = 4 - 2y$

Agora temos uma definição de x. Podemos, então, substituir o x da outra equação pela definição que acabamos de obter:

$2x + y = -1 \Rightarrow 2(4 - 2y) + y = -1\\8 - 4y + y = -1\\-3y = -9\\y = 3$

Tendo o valor numérico de y, podemos substituí-lo em qualquer equação para obter o valor de x. Usando a primeira, como exemplo:

$x + 2(3) = 4\\x + 6 = 4\\x = -2$

(II) Multiplicando e somando as equações

Você tem duas equações:

$x + 2y = 4\\2x + y = -1$

Agora suponha que você decida multiplicar ambos os lados da primeira equação por -2:

$-2(x + 2y) = -2(4)\\-2x -4y = -8$

Nesse caso, como multiplicamos ambos os lados por -2, a equação mantém a sua consistência. Então é válido reescrevermos o sistema como:

$-2x - 4y = -8\\2x + y = -1$

Se ambas as equações são consistentes, isso quer dizer que podemos somá-las:

$-2x - 4y + 2x + y = -8 - 1\\-3y = -9\\y = 3$

Tendo descoberto y, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações para descobrir x. Neste caso, escolherei a segunda:

$2x + 3 = -1\\2x = -4\\x = -2$

Por que isso funcionou? Porque, lá no começo, multiplicamos a primeira equação por um número que permitia que, ao somar as duas equações, eliminássemos o x, deixando apenas o y e possibilitando o seu isolamento.