Question

indentifique geometricamente a areada figura limitada pelas funções f(x)=x² e f(x)=3x​

Answer 1

Resposta: $\boxed {\boxed{ \boxed{\frac{9}{2}u.a }}}$

Temos as seguintes funções:

$f(x) = x {}^{2} \: \: e \: \: f(x) = 3x$

A pergunta que a questão nos faz é em relação a área formada pela intersecção dessas duas funções, para isso vamos usar o artifício chamado integral, que nos permite fazer isso.

• 1) Interseção das funções:

Primeiro temos que encontrar em quais pontos essas funções se encontram, pois os mesmos serão considerados os limites de integração e com a ajuda deles saberemos de onde essa área vai, até onde ela termina e assim integrar partindo desse intervalo. Para encontrar as intersecções devemos igualar as funções:

$x {}^{2} = 3x \longleftrightarrow x {}^{2} - 3x = 0 \\ \longleftrightarrow x.(x - 3) = 0 \longleftrightarrow \begin{cases}x_1 = 0\\ x_2 = 3 \end{cases} \: \: \: \: \:$

Esses são os limites de integração.

• 2) Função que representa a área:

Para encontrar essa tal função, basta você fazer a subtração da função que se encontra acima pela função que se encontra abaixo, no caso 3x está acima e x² está abaixo, então:

$\int\limits_{a}^{b}(f(x) - g(x))dx \longleftrightarrow \int\limits_{0}^{3} (3x - x {}^{2} )dx$

• 3) Integração da função:

Aquela função que encontramos deve ser integrada através dos devidos processos:

$\int (3x - {x}^{2} )dx \longleftrightarrow \frac{3x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + c$

• 4) Aplicação do Teorema Fundamental do Calculo:

O Teorema fundamental do cálculo diz que:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a) \to \bigg| _{a}^{b}$

Aplicando esse tal teorema:

$\frac{3x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + c \bigg |_{0}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \longleftrightarrow \frac{3.(3) {}^{2} }{2} - \frac{3 {}^{3} }{3} + c - \left( \frac{3.0 {}^{2} }{2} - \frac{0}{3} - c\right) \\ \longleftrightarrow \frac{3.9}{2} - \frac{27}{3} + c - 0 - c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \longleftrightarrow \frac{27}{2} - 9 \longleftrightarrow \frac{27 - 18}{2} \longleftrightarrow \boxed {\boxed{ \boxed{\frac{9}{2}u.a }}}$

Espero ter ajudado