Question

(IME-RJ) Um vidro plano, com coeficiente de condutibilidade térmica 0,00183 cal/s.cm.°C, tem uma área de 1000 cm² e espessura de 3,66 mm. Sendo o fluxo de calor por condução através do vidro de 2000 calorias por segundo, calcule a diferença de temperatura entre suas faces.

Answer 1

Só por análise dimensional, já tentaremos achar uma fórmula adequada.

A dita condutibilidade térmica, que chamaremos de $\mathsf{C_t}$, é dada por :

$\mathsf{\dfrac{cal}{s \ \cdot cm \ \cdot \ ^\circ C}}$

O que equivale a $\mathsf{\dots}$

$\mathsf{\dfrac{cal}{s} \ \cdot \ \dfrac{1}{cm} \ \cdot \ \dfrac{1}{^\circ C}}$

Veja que o enunciado já nos fala que $\mathsf{\dfrac{cal}{s}}$ é uma grandeza chamada fluxo de calor, que chamaremos de $\mathsf{F_c}$

Até agora, temos : 

$\mathsf{\dfrac{cal}{s \ \cdot cm \ \cdot \ ^\circ C} \ = \ F_c \ \cdot \ \dfrac{1}{cm} \ \cdot \ \dfrac{1}{^\circ \ C}}$


Agora, para $\mathsf{\dfrac{1}{cm}}$, podemos ter : 

$\mathsf{\dfrac{1}{cm}, \ \boxed{\mathsf{\dfrac{cm}{cm^2}}}, \ \dfrac{cm^2}{cm^3}, \ \ etc\dots}}$

$\mathsf{\dfrac{cm}{cm^2}}$ é condizente com o que temos no enunicado, espessura $\mathsf{e}$ em centímetros sobre área $\mathsf{A}$ em centímetros quadrados :

$\mathsf{\dfrac{1}{cm} \ = \ \dfrac{e}{A}}$

Ou seja, temos então :

$\mathsf{\dfrac{cal}{s \ \cdot cm \ \cdot \ ^\circ C} \ = \ F_c \ \cdot \ \dfrac{e}{A} \ \cdot \ \dfrac{1}{^\circ \ C}}$

Mas perceba que $\mathsf{\dfrac{1}{^\circ \ C}}$ é justamente $\mathsf{\dfrac{1}{\Delta T}}$, ou seja, o inverso da pedida diferença de temperatura.

Por fim, achamos que :

$\mathsf{C_t \ = \ \dfrac{F_c \ \cdot \ e}{A \ \cdot \ \Delta T}}$

Do enunciado $\Rrightarrow$

$\mathsf{\circ \ C_t \ = \ 0,00183 \ \dfrac{cal}{s \ \cdot \ cm \ \cdot \ ^\circ C} \ \rightarrow \ 183 \ \cdot \ 10^{-5} \ \dfrac{cal}{s \ \cdot \ cm \ \cdot \ ^\circ C};} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ F_c \ = \ 2000 \ \dfrac{cal}{s};} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ e \ = \ 3,66 \ mm \ \rightarrow \ 3,66 \ \cdot \ 10^{-1} \ cm;} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ A \ = \ 1000 \ cm^2;} \\ \\ \\ \mathsf{\circ \ \Delta T \ = \ ??? \dots}$

$\mathsf{183 \ \cdot \ 10^{-5} \ = \ \dfrac{2000 \ \cdot \ 3,66 \ \cdot \ 10^{-1}}{1000 \ \cdot \ \Delta T} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\Delta T \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ 3,66 \ \cdot 10^{4}}{183} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\Delta T \ = \ \dfrac{73200}{183} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\Delta T \ = \ 400 ^\circ \ C}}} \ \Longrightarrow$

Diferença de temperatura pedida!