Question

(Ime-rj) determine o termo independente de x de [x^(1/2) - 1/(x^1/2)]^10

Answer 1

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do binômio de Newton, dada por:

$\boxed{\ast \: \sf T_{p + 1}= \binom{n}{p} .a {}^{n - p} .b {}^{p} \: \ast}$

Onde:

• (n) indica expoente do binômio;
• (a) indica o primeiro número do binômio;
• (b) indica o segundo número do binômio;
• (p) indica a "posição".

Sabendo disso, vamos organizar os valores:

$\sf \begin{cases} \sf a = x {}^{ \frac{1}{2} } \\ \sf b = \frac{1}{x {}^{ \frac{1}{2} } } \\ \sf n = 10 \\ \sf p =?\end{cases}$

Substituindo:

$\: \sf T_{p + 1} = \binom{10}{p} .( x {}^ {\frac{1}{2} }){}^{10 - p} .( - \frac{1}{ x {}^{ \frac{1}{2} } }) {}^{p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{10}{p} .x {}^{ \frac{1}{2}.10 - \frac{1}{2}.p } . - \frac{1 {}^{p} }{(x^ \frac{1}{2} ) {}^{p} } \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{10}{p} . {x}^{ \frac{10}{2} - \frac{p}{2} } . - \frac{1}{x {}^{ \frac{p}{2} } } \\ \\ \sf T_p = \binom{10}{p} .x {}^{5 - \frac{p}{2} } . - \frac{1}{x {}^{ \frac{p}{2} } } \\ \\ \sf T_{p + 1} = \sf \binom{10}{p}. - \frac{x {}^{5 - \frac{p}{2} } }{x {}^{ \frac{p}{2} } } \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{10}{p} . - x {}^{5 - \frac{p}{2} - \frac{p}{2} } \\ \\ \sf T_p = \binom{10}{p} . - x {}^{5 - \frac{2p}{2} } \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{10}{p} . - x {}^{ {}^{5 - p} }$

A questão quer saber o valor do termo independente, ou seja, "x" deve estar elevado "0", pois isso faz com ele esse perda o caráter de incógnita, sabendo disso, vamos pegar aquela expressão formada o expoente e igualar a "0".

$\sf 5 - p= 0 \\ \boxed{ \sf p = 5}$

Substituindo o valor de "p":

$\sf T_{5 + 1}= \binom{10}{5} . - x {}^{5 - 5} \\ \\ \sf T_6 = \frac{10 !}{5!5!} . - x {}^{0} \\ \\ \sf T_6 = \frac{10.9.8.7.6. \cancel5 !}{5! \cancel5!} .( - 1) \\ \\ \sf T_6= \frac{30240}{120} . (- 1 ) \\ \\ \sf T_6 = 252.( - 1) \\ \\ \boxed{\sf T_6 = - 252}$

Esse é o termo independente.

Espero ter ajudado