Question

(IME 88) Considere um conjunto de 12 letras distintas,sendo 8 consoantes e 4 vogais;
a)Quantas palavras podem ser formadas contendo 3 consoantes e 2 vogais sem repetição?
b)Em quantas destas palavras as vogais não estão juntas?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Precisamos escolher 3 consoantes entre as 8 disponíveis e 2 vogais entre as 4 disponíveis

A ordem de escolha não importa, usaremos combinação

• Consoantes

$\sf \dbinom{8}{3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3!}=\dfrac{336}{6}=56$

• Vogais

$\sf \dbinom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2!}=\dfrac{12}{2}=6$

Há $\sf 56\cdot6=336$ maneiras de escolher as letras.

Porém, há várias ordens possíveis.

São $\sf 5!=120$ ordens possíveis

Podem ser formadas $\sf 336\cdot120=\red{40320~palavras}$

b)

• Vogais juntas: vamos considerar que as vogais são uma só letra. Teremos 4 letras

Precisamos determinar em quantas das 120 ordens as vogais ficam juntas

$\sf 2\cdot4!=2\cdot24=48$

As vogais ficam juntas em 48 ordens, ou seja, em $\sf 48\cdot336=16128$

Logo, as vogais não estão juntas em:

$\sf 40320-16128=\red{24192~palavras}$