Question

(IME 2019/2020) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo.
$\huge {\text { \begin{cases} \sf x = \cfrac{\sqrt[ \sf 3]{\sf 2y^2}}{2} \\ \sf y = e^{2 \: In(x)} \\ \sf log_2 \: y + log_x \: z = \left( x+3 \right) \end{cases} }}$
O valor de S é:
(A) 84
(B) 168
(C) 234
(D) 512
(E) 600

Observação: Cálculo + Explicação.

Answer 1

Utilizando os conhecimentos sobre logaritmos, obtemos como resposta:

$\Large{\mbox{Alternativa (A)}}$

Da condição de existência do logaritmo temos que

$\log_ab \Leftrightarrow a>0, a\neq1\,\,\mbox{e}\,\,b>0$

E a definição de logaritmos

$\log_ab=c\Leftrightarrow b=a^c$

Seja o sistema

$\displaystyle\begin{cases}x=\frac{\sqrt[3]{2y^2}}{2}\\y=e^{2\ln(x)}\\\log_2y+\log_xz=(x+3)\end{cases}$

Note que dada a condição de existência da função logarítmica, temos que

$y>0$, $x>0$, $z>0$ e $x\neq1$

Na segunda equação, aplique a função $\ln$ em ambos os lados, então segue que

$\ln y=e^{2\ln(x)}\\\\\\\Rightarrow \ln y=\ln e^{2\ln(x)}\\\\\\\Rightarrow \ln y=2\ln(x)\cdot\overbrace{\ln e}^{1}\\\\\\\Rightarrow \ln y=\ln x^2\Leftrightarrow y=x^2$

Elevando ao quadrado a relação que acabamos que obter, temos

$y^2=x^4$

Substituindo $y^2=x^4$ na primeira equação

$x=\dfrac{\sqrt[3]{2y^2}}{2}\quad\mbox{para}\,\,y^2=x^4\\\\\\\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt[3]{2x^4}}{2}\\\\\\ \Rightarrow x=\dfrac{x\sqrt[3]{2x}}{2}\quad\mbox{elevando ao cubo ambos os lados}\\\\\\ \Rightarrow x^3=\dfrac{x^3\cdot2x}{8}\\\\\\ \Rightarrow 8x^3=2x^4\\\\\\ \Rightarrow 2x^4-8x^3=0\\\\\\ \Rightarrow 2x^3(x-4)=0$

Onde obtemos

$2x^3=0\Rightarrow x=0\quad\mbox{n\~ao serve, pois}\,\, x>0$

ou então

$x-4=0\Rightarrow \boxed{x=4}$

Como $y=x^2$, segue que

$y=x^2\quad\mbox{para x=4}\\\\\\\Rightarrow y=4^2\\\\\\\Rightarrow\boxed{y=16}$

Substituindo x=4 e y=16 na terceira equação temos

$\log_216+\log_4z=4+3\\\\\\\Rightarrow \log_22^4+\log_4z=7\\\\\\\Rightarrow 4\cdot\overbrace{\log_22}^{1}+\log_4z=7\\\\\\\Rightarrow \log_4z=7-4\\\\\\\Rightarrow \log_4z=3\Leftrightarrow z=4^3\Rightarrow\boxed{z=64}$

Por fim $S=x+y+z$ será

$S=4+16+64\\\\\\\Rightarrow{\boxed{S=84}}$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/20622671

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{\begin{cases}\mathsf{x = \dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{2y^2}}}{2}}\\\mathsf{y = e^{2\:ln(x)}}\\\mathsf{log_2\:y + log_x\:z = (x + 3) }\end{cases}}$

$\mathsf{y = e^{ln(x^2)}}$

$\mathsf{y = x^2}$

$\mathsf{2.y^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{3}}.y^{\frac{2}{3}}}$

$\mathsf{\dfrac{2}{2^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}}}$

$\mathsf{ y^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{3}}}$

$\mathsf{ y = 2^{\frac{2.6}{3}}}$

$\mathsf{ y = 2^4}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{ y = 16}}}$

$\mathsf{x = \sqrt{16}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{ x = 4}}}$

$\mathsf{log_2\:16 + log_4\:z = (4 + 3) }$

$\mathsf{log_2\:16 + \dfrac{1}{2}\:log_2\:z = 7 }$

$\mathsf{2\:log_2\:16 + log_2\:z = 14 }$

$\mathsf{log_2\:256.z = log_2\:2^{14} }$

$\mathsf{log_2\:256.z = log_2\:16.384 }$

$\mathsf{256.z = 16.384 }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{z = 64}}}$

$\mathsf{x + y + z = 4 + 16 + 64}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x + y + z = 84}}}\leftarrow\textsf{letra A}$