Question

(IME-2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas

R: cosΘ = 3/13

Answer 1

$Observe \ o \ anexo.$

$Sejam \ os \ lados \ da \ base \ quadrada \ AB \ = \ BC \ = \ CD \ = \ DA \ = \ l. \\ \\ As \ 4 \ faces \ laterais \ s\~ao \ \triangle \ is\'osceles \ de \ base \ = \ l \ e \\ alturas \ relativas \ \`as \ tais \ bases \ = \ SS'. \\ (Pir\^amide \ regular \ : \ SA \ = \ SB \ = \ SC \ = \ SD).$

$Vamos \ tomar \ a \ base \ \triangle ASD \ como \ exemplo. \\ Do \ enunciado \ (sabendo \ que \ as \ \'areas \ laterais \ s\~ao \ iguais) \ \rightarrow \\ \\ \underbrace{4 \ \cdot \ A_{\triangle ASD}}_{faces \ laterais \ iguais} \ = \ 2 \ \cdot \ A_{\square ABCD} \ \rightarrow \\ \\ \\ 4 \ \cdot \ \dfrac{\overbrace{AD}^{l} \ \cdot \ SS'}{2} \ = \ 2 \ \cdot \ l^2 \ \rightarrow \\ \\ \\ \not{2} \ \cdot \ \not{l} \ \cdot \ SS' \ = \ \not{2} \ \cdot \ \l^{\not{2}} \ \rightarrow$

$\boxed{SS' \ = \ l}$

$Veja, \ no \ anexo, \ que \ SS' \ finca-se \ no \ ponto \ m\'edio \ de \ AD \\ \\ \circ \ AS' \ = \ S'D \ = \ \frac{l}{2} \\ \\ e \ que \ SS' \ \'e \ a \ altura \ de \ AD, \ logo, \ SS' \ \perp \ AD. \\ \\ Veja, \ por \ exemplo, \ o \ \triangle \ SS'D : \\ \\ SD^2 \ = \ SS'^2 \ + \ S'D^2 \ \rightarrow \\ \\ SD \ = \ \sqrt{l^2 \ + \ \big(\frac{l}{2}\big)^2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{SD \ = \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2}} \ \Rightarrow \ (SD \ = \ SA \ = \ SB \ = \ SC)$

$Agora, \ vejamos \ o \ \^angulo \ A\widehat{D}S \ : \\ \\ cos(A\widehat{D}S) \ = \ \dfrac{cat. \ adjacente}{hip} \ \rightarrow \\ \\ \\ cos(A\widehat{D}S) \ = \ \dfrac{DS'}{SD} \ \rightarrow \\ \\ \\ cos(A\widehat{D}S) \ = \ \dfrac{\frac{\not{l}}{\not{2}}}{\frac{\not{l} \cdot \sqrt{5}}{\not{2}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{cos(A\widehat{D}S) \ = \ \frac{1}{\sqrt{5}}}$

$Agora, \ seja \ AQ \ a \ mediana \ de \ SD. \\ \\ SQ \ = \ QD \ = \ \dfrac{SD}{2} \ = \ \dfrac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{4}$

$Observe \ o \ \triangle AQD. \\ \\ Para \ determinarmos \ AQ, \ usamos \ a \ Lei \ do \ Cosseno \ para \\ tal \ medida, \ sabendo \ que \ A\widehat{D}Q \ = \ A\widehat{D}S \ : \\ \\ AQ^2 \ = \ AD^2 \ + \ QD^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AD \ \cdot \ QD \ \cdot \ cos(\underbrace{A\widehat{D}Q}_{A\widehat{D}S}) \ \rightarrow \\ \\ \\ AQ^2 \ = \ l^2 \ + \ \big(\frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{4}\big)^2 \ - \ 2 \ \cdot \ l \ \cdot \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{4} \ \cdot \ \frac{1}{\sqrt{5}} \ \rightarrow$

$AQ^2 \ = \ l^2 \ + \ \frac{5 \ \cdot \ l^2}{16} \ - \ \frac{l^2}{2} \ \rightarrow \\ \\ AQ^2 \ = \ \frac{l^2}{2} \ + \ \frac{5 \ \cdot \ l^2}{16} \ \rightarrow \\ \\ AQ^2 \ = \ \frac{8 \ \cdot \ l^2}{16} \ + \ \frac{5 \ \cdot \ l^2}{16} \ \rightarrow \\ \\ AQ^2 \ = \ \frac{13 \ \cdot \ l^2}{16} \ \rightarrow \\ \\ AQ \ = \ \sqrt{\frac{13 \ \cdot \ l^2}{16}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{AQ \ = \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{13}}{4}} \ \Rightarrow \ Valor \ da \ mediana \ AQ!$

$Agora\dots \ veja \ que \ isso \ vale \ para \ todas \ as \ faces. \\ \\ Veja \ (anexo) \ que \ DP \ '\'e \ o \ correspondente' \ de \ AQ \ na \ base \ \triangle SCD. \\ \\ Mas \ veja \ que \ n\~ao \ h\'a \ plano \ que \ contenha \ AQ \ e \ DP! \\ Isso \ porque \  \ s\~ao \ \bold{reversas}.$

$Para \ acharmos \ o \ \^angulo \ pedido \ (AQ \ = \ DP) :$

$Em \ \triangle SCD \ \longrightarrow \\ \\ \circ \ As \ medianas \ DP \ e \ QC \ s\~ao \ iguais \ (\triangle \ is\'osceles); \\ \\ \bullet \ G \ \'e \ o \ baricentro \ (encontro \ das \ mesmas); \\ \\ \circ \ GQ \ = \ GP \ = \ \underbrace{\frac{AQ}{3}}_{propriedade \ de \ G}; \\ \\ \\ Em \ \triangle GQP \ \longrightarrow \\ \\ \bullet \ GQ \ = \ GP \ \therefore \ G\widehat{Q}P \ = \ \underbrace{G\widehat{P}Q}_{\^angulo \ procurado} \ (Lei \ dos \ Senos)$

$Veja \ que \ A\widehat{Q}C \ e \ C\widehat{Q}P \ formam \ um \ raso. \\ \\ A\widehat{Q}C \ + \ C\widehat{Q}P \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{cos(A\widehat{Q}C) \ = \ - \ cos(C\widehat{Q}P)}$

$Veja \ \triangle AQC. \ Determinamos \ cos(A\widehat{Q}C), \\ referenciamos \ o \ lado \ oposto \ AC \ = \ l \ \cdot \ \sqrt{2} \ (diagonal). \\ \\ AC^2 \ = \ AQ^2 \ + \ QC^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AQ \ \cdot \ QC \ \cdot \ cos(A\widehat{Q}C) \ \rightarrow$

$(l \ \cdot \ \sqrt{2})^2 = \big(\frac{l \cdot \sqrt{13}}{4}}\big)^2 + \big(\frac{l \cdot \sqrt{13}}{4}}\big)^2 - 2 \cdot \frac{l \cdot \sqrt{13}}{4}} \cdot \frac{l \cdot \sqrt{13}}{4}} \cdot cos(A\widehat{Q}C) \ \rightarrow \\ \\ \\ \not{2} \ \cdot \ \not{l^2} \ = \ \dfrac{\not{2} \ \cdot \ \not{l^2} \ \cdot \ 13}{16} \ - \ \dfrac{\not{2} \ \cdot \ \not{l^2} \ \cdot \ 13 \ \cdot \ cos(A\widehat{Q}C)}{16} \ \rightarrow$

$1 \ - \ cos(A\widehat{Q}C) \ = \ \dfrac{16}{13} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{cos(A\widehat{Q}C) \ = \ \dfrac{-3}{13}}$

$Logo, \ cos(A\widehat{Q}C) \ = \ - \ cos(C\widehat{Q}P) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{cos(C\widehat{Q}P) \ = \ \dfrac{3}{13}}} \ \bold{\Rrightarrow \ \^Angulo\ entre \ as \ medianas \ AQ \ e \ DP!}$