Question

Imagine você brincando sozinho com um pêndulo de 20 com de comprimento. Se você pudesse aumentar sua corda para ele oscilar com 40 cm quantas vezes maior seria o período? E se o pêndulo passa-se de 40cm para 80cm quantas vezes maior seria o período?

Answer 1

Olá, Cinthia. :)

Essa matéria requer um pouco de conceitos físicos, pois vou explicar passo a passo como chegar até o período e apesar de ser uma questão de Movimento Harmônico Simples(MHS) não há nada de simples da questão. rs

Primeiro vamos imaginar um pêndulo, que você segura a bolinha que está na ponta com a corda esticada e depois solta...

O pêndulo começará a se movimentar, mas como isso? Mágica? hahahaha

Não... ele estará sobre o efeito da força da gravidade, como sabemos a fórmula de Força:

Força = massa * aceleração

Peso = massa * gravidade

Porém a bolinha não vai para baixo, ela vai para baixo e para o lado, que brisa... É porque ela também está sob efeito da Tração do fio. :)

E isso acontece porque formam-se ângulos entre eles (como sabemos, falou em ângulo e vetores isso vai acabar em seno, cosseno ou tangente), portanto:

F = P * sen θ

Porém, sen θ = cateto oposto / hipotenusa = x/ L

x = resultante

L = raio (comprimento do pêndulo)

Então:

F = P * x/L

Então vamos analisar agora P e L, no sistema eles são constantes, o que isso significa? Que o valor deles não se altera no sistema, pode chover, pode fazer sol mas o tamanho do fio(L) não muda, a massa da bolinha(m) não muda e a gravidade (g) não muda. Então já que é assim, vamos chamar esses carinhas de K? K de "konstante", brincadeira. hehehehe

Portanto:

K = P/L = m * g / L

Substituindo K:

F = P * x/L

F = K * x

Pronto, muito mais bonito agora, tava começando a ficar com um monte de letra e ficar confuso, agora está melhor...

Como sabemos, para qualquer MHS, o período é escrito da seguinte forma (não vamos nos assustar):

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K} }$

Mas adivinha o que nós temos???? O valor de K ;)

Substituindo K:

$T =2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{m*g}{L} } }=2\pi \sqrt{\frac{1}{\frac{g}{L} } }=2\pi \sqrt{\frac{L}{g} }$

Olha que maravilha, nós temos o período em função de 2 constantes (gravidade e pi não se altera no mesmo sistema) e uma variável que é o comprimento do fio :)

Logo:

Período 20cm: T = 2π√L/g = 2π√20/10 = 2π√2

Período 40cm: T = 2π√L/g = 2π√40/10 = 2π√4 = 4π

Período 80cm: T = 2π√L/g = 2π√80/10 = 2π√8 = 4π√2

Agora que descobrimos como chegar ao valor do período em função do tamanho da corda (raio) e calculamos o período para cada tamanho de corda, vamos as perguntas ;)

"de 20cm para 40cm, quantas vezes maior seria o período?"

T40/T20 = (4π) / (2π√2) = 2/√2 = 2/√2 *√2/√2 = (2√2) / 2 = √2

Seria √2 vezes maior, caso queira o valor aproximado de √2: seria 1,4 vezes maior ;)

"e se o pêndulo passasse de 40cm para 80cm?"

T80/T40 = (4π√2) / (4π) = √2

Mesma coisa, ou seja: "Seria √2 vezes maior, em decimal 1,4 vezes maior ;)"

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida é só comentar,

Bons estudos ♡