Question

Imagine um enorme corredor com 1000 armários fechados, numerados de 1 a 1000
e ainda um fila de 1000 pessoas à entrada do corredor. A primeira pessoa da fila
percorre o corredor e abre todos os armários. A segunda pessoa percorre o corredor e
fecha o segundo armário, o quarto, o sexto, etc., isto é fecha todos os armários de dois
em dois. A terceira pessoa, ao percorrer o corredor, só se interessa pelo terceiro armário,
pelo sexto, pelo nono, etc., isto é, pelos armários de três em três, e o que faz a cada um
deles é mudar o “estado” em que estão: abre os que estão fechados e fecha os que estão
abertos. Depois a quarta pessoa interessa-se pelo 4°, 8°, 12º, etc., e procede como a
terceira pessoa, abrindo os que estão fechados e fechando os que estão abertos. E assim
sucessivamente até todas as pessoas terem passado pelo corredor. No fim de passarem
todas as pessoas, quais armários ficam abertos? Quantos armários ficam abertos? Porque são estes armários que ficam abertos?

Answer 1

Podemos notar que todos os armários que são visitados por um número ímpar de pessoas terminam abertos. Ou seja, todos os armários que possuem um número ímpar de divisores ficam abertos ao final. Analogamente, os que possuem um número par de divisores, ficam fechados.

Analisando uma sequência mais curta, até 20, por exemplo, notamos que os abertos são os quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16,... e isso pode ser comprovado para os demais quadrados perfeitos, pois é só verificar que o número de divisores é sempre ímpar... e a lista continua... 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Então, basta calcular quantos quadrados perfeitos existem entre 1 e 1000. O primeiro deles é o 1, depois o 4=2², depois o 9=3² e assim por diante. Veja que a base da potência que representa cada quadrado perfeito indica sua quantidade. Portanto, ao encontrarmos o maior quadrado perfeito menor que 1000, a base da potência indicará a quantidade total. O 31² = 961. Logo, 31 é a quantidade de armários abertos ao final. São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 e 961.

Answer 2

Resposta:

São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 e 961.

Explicação passo-a-passo: