Question

Imagine que 1% de uma determinada população está contaminada por um vírus. O exame que detecta a presença desse vírus tem uma eficiência de 95% quando aplicado em uma pessoa não contaminada, e uma eficiência de 90% quando aplicado em pessoas contaminadas.

Se uma pessoa aleatória faz esse exame e recebe um diagnóstico positivo (contaminação), qual a probabilidade aproximada de essa pessoa estar realmente contaminada?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Considere os eventos:

A = {A pessoa está contaminada}

B = {A pessoa recebe um diagnóstico positivo

Queremos calcular P(A | B), ou seja, a probabilidade de a pessoa estar realmente contaminada, dado que ela recebeu um diagnóstico positivo

Temos que:

$\sf P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

• Diagnóstico positivo

Temos duas situações

1) A pessoa está contaminada e recebe um diagnóstico positivo

$\sf P(B|A)=\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{90}{100}=\dfrac{90}{10000}$

2) A pessoa não está contaminada e recebe um diagnóstico positivo

$\sf P(B|A^c)=\dfrac{99}{100}\cdot\dfrac{5}{100}=\dfrac{495}{10000}$

Assim, $\sf P(B)=\dfrac{90}{10000}+\dfrac{495}{10000}=\dfrac{585}{10000}$

Logo, a probabilidade procurada é:

$\sf P(A|B)=\dfrac{\frac{90}{10000}}{\frac{585}{10000}}=\dfrac{90}{585}=\dfrac{18}{117}=15,38\%$