Question

Imagem em anexo pra melhor visualização.

Um dos exemplos amplamente conhecidos de funções periódicas no qual temos a aplicação na fórmula de Fourier, citamos as funções trigonométricas s e n left parenthesis x right parenthesis e cos left parenthesis x right parenthesis, que são periódicas de período 2 straight pi.

Mais geralmente, as funções s e n left parenthesis n x right parenthesis e cos left parenthesis n x right parenthesis, em que n é um inteiro positivo, são periódicas.

Com base nesse tema, assinale a alternativa que indica corretamente a definição de função periódica:

Alternativas:

a)
Uma função f é periódica se é contínua em todo o seu domínio e é tal que f(0) = 0.

b)
Uma função f é periódica se f(-x) = f(x) para todo x no domínio da função.

c)
Uma função f é periódica se f(-x) = -f(x) para todo x no domínio da função.

d)
Uma função f é periódica quando apresenta, no máximo, um número finito de descontinuidades.

e)
Uma função f é periódica se existe um número real k no qual f(x + k) = f(x) para todo x no domínio de f.

Answer 1

Resposta:

A correta é a letra (e).

Explicação passo a passo:

Trata-se justamente da definição de uma função periódica.

Uma função é periódica se ocorre $f(x + k) = f(x)$, para $k\neq 0$.

Vamos exemplificar com a função seno:

$f(x) = \mathrm{sen}(x) \implies f(x+ k) = \mathrm{sen}(x + k)$

Aplicando a propriedade $\mathrm{sen}(a+b)=\mathrm{sen}(a)\cos(b) + \mathrm{sen}(b)\cos{(a)}$,

resulta em: $\mathrm{sen}(x + k)=\mathrm{sen}(x)\cos(k) + \mathrm{sen}(k)\cos{(x)}$.

Note que precisamos que ocorra

$\mathrm{sen}(x) = \mathrm{sen}(x)\cos(k) + \mathrm{sen}(k)\cos{(x)}$

caso a função seja periódica (sabemos que o é por inspeção gráfica).

Queremos determinar qual é o menor valor de $k \neq 0$ para o qual a função se repete.

Então observe que necessariamente, da expressão acima, devemos ter:

$\begin{cases}\cos(k) = 1\\\mathrm{sen}(k) = 0\\\end{cases}$

O menor valor para o qual o cosseno é 1 e o seno se anula é $k = 2\pi$.

Logo, concluímos que a função seno é periódica e o seu período vale $2\pi$.

Bônus:

A opção (a) é incorreta, pois não é necessário que f(0) = 0 para que a função seja periódica. A análise acima poderia ter sido efetuada para o cosseno, e chegaríamos a mesma conclusão do seno, mesmo com cos(0) = 1.

A alternativa (b) não é a definição de função periódica, mas a definição de função par.

A questão (c) é a definição de função ímpar.

A questão (d) é incorreta, pois periodicidade não está relacionada com a descontinuidade.