Question

(IFCE) Sejam x, y ∈ ℝ, com x + y = –16 e xy = 64. O valor da expressão x/y + y/x é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Melissa, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sejam "x", "y" ∈ R, com: x + y = - 16 e xy = 64. Dadas essas informações, calcule o valor da expressão: "x/y + y/x".

ii) Veja que temos o seguinte sistema de equações:

{x + y = - 16       . (I).

{xy = 64           . (II).

iii) Agora vamos por parte. Primeiro vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

x + y = - 16 ----- vamos isolar "x", ficando:

x = - 16 - y        . (III).

Agora vamos na expressão (II) e, nela, vamos substituir "x" por "-16-y", conforme vimos na expressão (III) acima. Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

xy = 64 ----- substituindo-se "x" por "-16-y" , teremos:

(-16-y)*y = 64 ---- efetuando o produto indicado, teremos:

-16y - y² = 64 ----- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:

0 = 64 + 16y + y² ---- ordenando e invertendo-se, ficaremos com:

y² + 16y + 64 = 0 ----- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

y' = y'' = - 8 <----- ou seja, a equação acima tem duas raízes reais e ambas iguais a "-8".

Com isso já temos certeza de que o valor de "y" é "-8" .

Se y = -8, então agora vamos encontrar o valor de "x" e, para isso, iremos na expressão (III) e, nela, substituiremos "y" por "-8". A expressão (III) é esta:

x = - 16 - y ----- substituindo-se "y" por "-8", teremos:

x = - 16 - (-8) ---- retirando-se os parênteses, teremos:

x = -16 + 8 ----- como "-16+8 = -8", teremos:

x = - 8 <--- Este é o valor de "x". Ou seja, temos que tanto "x" como "y" têm valores iguais a "-8".

iv) Agora vamos ao que a questão está pedindo, que é o valor da expressão: "x/y + y/x". Então teremos:

x/y + y/x = -8/-8 + (-8/-8) ----- como "-8/-8 = 1", pois, na divisão, menos com menos dá mais, então iremos ficar assim:

x/y + y/x = 1 + ( 1 ) ----- retirando-se os parênteses, iremos ficar assim:

x/y + y/x = 1 + 1 ----- e finalmente, como "1+1 = 2", teremos:

x/y + y/x = 2 <---- Esta é a resposta. Opção "e".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

Resolução:

Primeiro vamos calcular os valores de x e y usando o sistema de equações..

método de substituíção

{x + y = - 16
{x.y = 64

isolando x

x + y = - 16

x = - 16 - y

substituíndo x na segunda

x.y = 64

(- 16 - y).y = 64

- 16y - y² = 64

- y² - 16y - 64 = 0

vamos resolver a equação do segundo grau identificando os coeficientes a, b e c , achar o valor de delta e usar baskhara.

-y² - 16y - 64 = 0

a = -1 b = - 16 c = - 64

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-16)² - 4.(-1).(-64)

∆ = 256 - 256

∆ = 0


Y = - b ± √∆ / 2.a

Y = + 16 ± √0 / 2.(-1)

Y = 16 ± 0 / -2

Y' = 16 + 0 / - 2 = 16 / -2 = - 8

Y" = 16 - 0 / - 2 = 16 / - 2 = - 8

S = Y' = Y" = - 8

Então o valor de y = - 8

Agora, vamos pegar a equação que isolamos x para acharmos o seu valor usando y

x = - 16 - y

x = - 16 - (-8)

x = - 16 + 8

x = - 8

Por fim, Já podemos achar o valor da expressão x/y + y/x usando os valores de x e y....

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} =$

$\frac{ - 8}{ - 8} + ( \frac{ - 8 }{ - 8} ) =$


$\frac{ - 8 - 8}{ - 8} =$


$\frac{ - 16}{ - 8} =$

$2$


RESPOSTA : "E"