Question

(IFCE) em um triângulo retângulo, um dos ângulos internos mede 60°. Fazendo-se a rotação desse triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um sólido de volume V. Se a rotação é feita em torno do cateto maior, obtém-se um sólido de volume V. Calcule a razão V\V

Answer 1

Resposta:

√3

Explicação passo-a-passo:

A tangente é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente do triângulo.

tan (60º) = √3

Isso significa que o cateto oposto é √3 vezes maior do que o cateto adjacente ao ângulo.

Então podemos chamar os catetos do triângulo de "a" e "a√3".

Quando se gira um triângulo retângulo, o volume formado é um cone.

O volume do cone é dado pela fórmula πr²*h/3, sendo r o raio do cone e h, a altura.

Quando se gira o triângulo em torno do cateto menor, este se torna a altura do cone:

h é o lado menor "a"

r é o lado maior "a√3"

O volume fica:

$V_1$  =π(a√3)²*a/3=

$V_1$ = πa²*3*a/3=

$V_1$ = πa³

Quando se gira o triângulo em torno do cateto maior, essas posições se invertem:

h é o lado maior "a√3"

r é o lado menor "a"

O volume fica:

$V_2$ = πa²*(a√3)/3=

$V_2$ = πa³*(√3)/3

$V_2$ = πa³/(√3)

A relação (Volume 1)/(Volume 2) então fica:

πa³ :  πa³/(√3)

Para se dividir por uma fração, a gente inverte a fração e multiplica:

πa³ * (√3)/(πa³)

Os πa³ se cancelam e sobra a √3.

Então, a relação é √3