Question

(IFCE) Considerando log7 2=w, temos que o valor de log4 14 pode ser expressado por:
a)2/w+1
b)2w/w+1
c)3w/2
d)2/w
e)w+1/2w

Answer 1

Utilizando propriedades de logaritmos e expoentes, temos que este logarimos vale $x=\frac{w+1}{2w}$, Letra e).

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte logaritmo que queremos descobrir:

$x=Log_4(14)$

Para isso vamos utilizar algumas propriedades para obtermos o nosso valor de x.

Primeiramente vamos separar as base, utilizando a propriedade de escolha de bases:

$x=Log_4(14)$

$x=\frac{Log(14)}{Log(4)}$

$x=\frac{Log(2.7)}{Log(2^2)}$

Agora vamos utilizar a propriedade onde, multiplicação vira soma e expoente vira multiplicação:

$x=\frac{Log(2.7)}{Log(2^2)}$

$x=\frac{Log(2)+Log(7)}{2.Log(2)}$

$x=\frac{Log(2)}{2.Log(2)}+\frac{Log(7)}{2.Log(2)}$

$x=\frac{1}{2}+\frac{Log(7)}{2.Log(2)}$

$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{Log(7)}{Log(2)}$

$x=\frac{1}{2}[1+\frac{Log(7)}{Log(2)}]$

Agora que esta expressão esta bem simplificada, vamos inverter a fração de logaritmo trocando o seu expoente de sinal:

$x=\frac{1}{2}[1+\frac{Log(7)}{Log(2)}]$

$x=\frac{1}{2}[1+(\frac{Log(2)}{Log(7)})^{-1}]$

Agora utilizando a mesma propriedade de antes de troca de bases, podemos juntar estes logaritmos de novo em uma base só:

$x=\frac{1}{2}[1+(\frac{Log(2)}{Log(7)})^{-1}]$

$x=\frac{1}{2}[1+(Log_7(2))^{-1}]$

Agora note que o interior do parentese é exatamente o logaritmo dado no enunciado, ou seja, ele vale w:

$x=\frac{1}{2}[1+(Log_7(2))^{-1}]$

$x=\frac{1}{2}[1+(w)^{-1}]$

Agora basta inverter novamente esta fração com expoente mudando de sinal:

$x=\frac{1}{2}[1+(w)^{-1}]$

$x=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{w}]$

$x=\frac{1}{2}[\frac{w}{w}+\frac{1}{w}]$

$x=\frac{1}{2}[\frac{w+1}{w}]$

$x=[\frac{w+1}{2w}]$

$x=\frac{w+1}{2w}$

Assim temos que este logarimos vale $x=\frac{w+1}{2w}$, Letra e).

Answer 2

Log7 2 = w

Log2 2/ log7 2

1/log2 7 = w

Log4 14 = log4 7*2 = log4 7 + log4 2

Log2² 7 + log 2² 2

1/2log2 2 + 1/2log2 7

1/2 + 1/w*1/2

1/2w + 1/2

(1+w)/2w

Letra E