Question

(IFCE) A solução real da equação
${5}^{x - 2} \times \sqrt[x]{ {25}^{2x - 5} } = \sqrt[2x]{ {5}^{3x - 2} }$
é:
a) {4; 2}
b) {-3; 6)
c) {-6;3}
d) {3}
e) (-6}​

Answer 1

Lembremos de algumas propriedades da Potenciação e Radiciacao:

$\large{\boldsymbol{\sqrt[m]{X^n}=X^{\frac{n}{m}}}}$   i

$\large{\mathbf{Y^{A}.Y^{B}=Y^{A+B}}}$   ii

Com base nas propriedades acima, vamos reescrever a equação:

$\large{\boldsymbol{\sqrt{{5}^{x - 2}}\times \sqrt[x]{ {25}^{2x - 5} } = \sqrt[2x]{ {5}^{3x - 2}}}}$

aplicando i

$\large{\boldsymbol{5^{\frac{X-2}{2}}\cdot 25^{\frac{2X-5}{X}}=5^{\frac{3X-2}{2X}}}}$   como 25=5²

$\large{\boldsymbol{5^{\frac{X-2}{2}}\cdot 5^{2\cdot(\frac{2X-5}{X})}=5^{\frac{3X-2}{2X}}}}$

aplicando ii

$\large{\boldsymbol{5^{\frac{X-2}{2}+\frac{4X-10}{X}}=5^{\frac{3X-2}{2X}}}}$

como as bases sao iguais, trabalhamos apenas com os expoentes

$\large{\boldsymbol{\frac{X-2}{2}+\frac{4X-10}{X}=\frac{3X-2}{2X}}}$

mmc de 2; X e 2X = 2X, logo

$\large{\boldsymbol{\frac{X^2-2X}{2X}+\frac{8X-20}{2X}=\frac{3X-2}{2X}}}$

corta-se todos os denominadores restando

X² - 2X + 8X - 20 = 3X - 2

X² + 3X - 18 = 0

Resolvendo essa equação do 2º obtemos

X' = 3 e X'' = - 6