Question

Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral 2x² + 2y² – 16x – 8y + 22 = 0 e escreva a equação na forma reduzida.

Answer 1

$2x² + 2y² – 16x – 8y + 22 = 0$

Aplique a derivada em cada termo, em função x.

Sendo assim...

$\frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) - \frac{d}{dx} (16x) - \frac{d}{dx} (8y) + \frac{d}{dx} (22) = \frac{d}{dx} (0)$

A derivada de uma constante é sempre 0.

Sendo assim...

$\frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) - \frac{d}{dx} (16x) - \frac{d}{dx} (8y) + 0 = 0$

Adicionar ou subtrair 0, a quantidade não se altera.

Sendo assim...

$\frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) - \frac{d}{dx} (16x) - \frac{d}{dx} (8y) = 0$

Use a regra da derivação

$\frac{d}{dx} (a \times f) = a \times \frac{d}{dx} (f)$

.

Sendo assim...

$2 \times \frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) - \frac{d}{dx} (16x) - \frac{d}{dx} (8y) = 0$

Usando a regra de Chain

$\frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) = \frac{d}{dy} (2y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx}$

, use a derivada.

Sendo assim...

$2 \times \frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - \frac{d}{dx} (16x) - \frac{d}{dx} (8y) = 0$

Usando

$\frac{d}{dx} (a \times x) = a$

, calcule a derivada.

Sendo assim...

$2 \times \frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - \frac{d}{dx} (8y) = 0$

Usando a regra de Chain

$\frac{d}{dx} (8y) = \frac{d}{dy} (8y) \times \frac{dy}{dx}$

, use a derivada.

Sendo assim...

$2 \times \frac{d}{dx} (2x {}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - \frac{d}{dx} (8y) \times \frac{dy}{dx} = 0$

Usando

$\frac{d}{dx} (x {}^{n} ) = n \times x {}^{n - 1}$

, Calcule a derivada.

Sendo assim...

$2 \times2x + \frac{d}{dy} (2y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - \frac{d}{dy} (8y) \times \frac{dy}{dx} = 0$

Use a regra da derivação

$\frac{d}{dy} (a \times f) = a \times \frac{d}{dy} (f)$

Sendo assim...

$2 \times2x + 2 \times \frac{d}{dy} (y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - \frac{d}{dy} (8y) \times \frac{dy}{dx} = 0$

Usando

$\frac{d}{dx} (a \times x) = a$

Sendo assim...

$2 \times2x + 2 \times \frac{d}{dy} (y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - 8\times \frac{dy}{dx} = 0$

Calcule a multiplicação.

Sendo assim...

$4x + 2 \times \frac{d}{dy} (y {}^{2} ) \times \frac{dy}{dx} - 16 - 8\times \frac{dy}{dx} = 0$

Usando

$\frac{d}{dx} (x {}^{n} ) = n \times x {}^{n - 1}$

, Calcule a derivada.

Sendo assim...

$4x + 2 \times 2y \times \frac{dy}{dx} - 16 - 8\times \frac{dy}{dx} = 0$

Calcule a multiplicação.

Sendo assim...

$4x +4y \times \frac{dy}{dx} - 16 - 8\times \frac{dy}{dx} = 0$

Mova a expressão para o membro direito da equação e altere o seu sinal.

Sendo assim...

$4y \times \frac{dy}{dx} - 8 \times \frac{dy}{dx} = - 4x + 16$

Coloque o fator

$\frac{dy}{dx}$

em evidência na expressão.

Sendo assim...

$(4y - 8) \times \frac{dy}{dx} = - 4x + 16$

Divida ambos os membros da equação por 4y - 8.

Sendo assim...

$\frac{dy}{dx} = \frac{ - 4x + 16}{4y - 8}$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>green</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>↝</em><em>\frac{dy}{dx} = \frac{ - x + 4}{y - 2} </em><em>↜</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Answer 2

Temos a seguinte equação geral de uma circunferência: $\sf 2x^{2} + 2y^{2}-16x-8y+22=0$. A questão nos pergunta qual é o raio e centro dessa circunferência, primeiramente vamos simplificar essa expressão por 2, já que todos os termos são divisíveis por 2:

$\sf \frac{2x {}^{2} + 2y {}^{2} - 16x - 8y + 22}{2} = \frac{0}{2} \\ \\ \orange\star \: \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 8x - 4y + 11 = 0 \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos lembrar que a equação geral de uma circunferência sem a atribuição de valores, é dada por:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0$

Vamos descobrir "a" e "b" através de comparações, ou seja, os valores que estão na mesma posição em que eles ocupam na equação fornecida pela questão, podemos estabelecer uma igualdade entre eles:

$\sf \begin{cases} \sf - 2ax = - 8x \\ \sf a = \frac{ - 8x }{ - 2x} \\ \sf a = 4 \end{cases} \begin{cases} \sf - 2by = - 4y \\ \sf b = \frac{ - 4y}{ - 2y} \\ \sf b = 2 \end{cases}$

Pronto, já temos o centro da circunferência, composta por a e b: $\boxed{\sf C(4,2)}$. Agora vamos encontrar o raio, para isso vamos usar a relação de "k", dada por:

$\sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2}$

De acordo com a equação fornecida, sabemos que k é igual a 11, então vamos substituir esse valor e os dados que descobrimos antes:

$\sf 11 = 4 {}^{2} + 2 {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 11 = 16 + 4 - r {}^{2} \: \\ \sf 11 - 16 - 4 = r {}^{2} \: \\ \sf - 9 = - r {}^{2} .( - 1) \: \: \: \: \\ \sf r {}^{2} = 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf r = \sqrt{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\sf r = 3 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar temos que escrever na forma reduzida, ou seja, que siga essa estrutura abaixo:

$\sf (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Substituindo os dados:

$\sf (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}\\ \sf (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$

Espero ter ajudado