Question

Identifique e esboce a superfície quadrica de equaçao: S : 4x 2 − 16x + y 2 − 8y + 4z 2 + 8z + 20 = 0

Answer 1

Por meio da fatoração e análise do resultado deste processo, conseguirmos determinar que está superfície se trata de um elipsóide.

Temos a seguinte superfície:

$\bf S : \: 4x {}^{2} - 16x + y {}^{2} - 8y + 4z {}^{2} + 8z + 20 = 0$

Para determinar qual a nomenclatura desta superfície, devemos encontrar a sua forma canônica através de fatoração e análise.

• Roteiro:

$\begin{cases}1) \: fatorac \tilde{a}o \\ 2) \: divis \tilde{a}o \: pelo \: termo \: ap \acute{o}s \: a \: igualdade \\ 3) \: an \acute{a}lise \: da \: forma \: can \hat{o}nica\end{cases}$

Primeiro podemos citar a forma de fatoração através de produtos notáveis e soma zero, sendo esta dada pela soma ou subtração de um termo e ao mesmo tempo a sua retirada ou adição.

$\begin{cases} (x + y) {}^{2} = x {}^{2} + 2xy + y {}^{2} \\ (x - y) {}^{2} = x {}^{2} - 2xy + y {}^{2} \end{cases}$

É possível ver que estas expressões da superfície, são dadas por produtos notáveis incompletos e através da soma zero vamos completá-los com o objetivo de simplificar a expressão. Portanto:

$1) \: \: 4x {}^{2} - 16x \: \: \approx \: \: 4x {}^{2} - 16x + 16 \\ 4x {}^{2} - 16x + 16 - 16 \\ 4.(x - 2) {}^{2} - 16 \\ \\ 2) \: \: y {}^{2} - 8y \: \: \approx \: \: y {}^{2} - 8y + 16 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y {}^{2} - 8y + 16 - 16 \\ (y - 4) {}^{2} - 16 \\ \\ 3) \: \: 4z {}^{2} + 8z \: \: \approx \: \: 4z {}^{2} + 8z + 16 \\ 4z {}^{2} + 8z + 4 - 4 \\ 4.(z + 1) {}^{2} - 4$

Substituindo essas expressões na equação padrão:

$4.(x - 2) {}^{2} - 16 + (y - 4) {}^{2 } - 16 + 2.(z + 1) {}^{2} - 4 + 20 = 0 \\ \\ 4.(x - 2) {}^{2} + (y - 4) {}^{2 } + 2.(z + 1) {}^{2} = 16 + 16 - 20 + 4 \\ \\ 4.(x - 2) {}^{2} + (y - 4) {}^{2 } + 4.(z + 1) {}^{2} = 16$

Agora vamos fazer a divisão de toda a equação pelo termo após a igualdade, para ficarmos com uma igualdade a 1.

$4.(x - 2) {}^{2} + (y - 4) {}^{2 } + 4.(z + 1) {}^{2} = 16 \\ \\ \frac{ 4.(x - 2) {}^{2}}{16} + \frac{(y - 4) {}^{2 }}{16} + \frac{4.(z + 1) {}^{2}}{16} = \frac{16}{16} \\ \\ \frac{(x - 2) {}^{2} }{4} + \frac{(y - 4) {}^{2} }{16} + \frac{(z + 1) {}^{2} }{4} = 1$

• Pela análise desta equação, podemos ver que se trata de um elipsóide não centrado na origem, mas sim em $C(2,4,-1)$

$\boxed{ \boxed{ \frac{(x - x_{0}) {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{(y - y_{0}) {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{(z - z_{0}) {}^{2} }{c {}^{2} } = 1 }}$

Espero ter ajudado

De forma análoga, acesse o link para um exemplo diferente

https://brainly.com.br/tarefa/9387341