Question

Identifique e encontre a equac¸ao da curva, determinada pelo conjunto de pontos de um ˜
plano cuja distancia ao ponto ˆ A(−3, 4) seja igual a sua dist ` ancia ˆ a reta ` y − 2 = 0

Answer 1

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a curva procurada é:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Par\acute{a}bola\:\:\:}} \end{gathered} }$

E sua equação é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf -x^{2} - 6x + 4y - 21 = 0\:\:\:}} \end{gathered} }$

                                 ou

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y = 0,25x^{2} + 1,5x + 5,25\:\:\:}} \end{gathered} }$

A partir da análise da questão capturamos os seguintes dados:

                     $\Large\begin{cases}P(x, y)\\A(-3, 4)\\r: y - 2 = 0 \end{cases}$

Se a questão está dizendo "equação da curva determinada pelo conjunto de pontos de um plano cuja distância ao ponto 'A' é igual à distância da reta 'r'".

Representando algebricamente esta questão, temos:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}D_{\overline{Pr}} = D_{\overline{PA}} \end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{|aX_{P} + bY_{P} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \sqrt{(X_{A} - X_{P})^{2} + (Y_{A} - Y_{P})^{2}} \end{gathered} }$

Sabendo que na forma geral a equação da reta assume a seguinte forma:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: ax + by + c = 0 \end{gathered}$

Então temos:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|0\cdot x + 1\cdot y + (-2)|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{(x - (-3))^{2} + (y - 4)^{2}} \end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|y - 2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{(x + 3)^{2} + (y -4)^{2}}\end{gathered} }$    

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|y - 2|}{1} = \sqrt{(x + 3)^{2} + (y -4)^{2}}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} |y - 2| = \sqrt{(x + 3)^{2} + (y -4)^{2}}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(y - 2)^{2} = (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}(y - 2)^{2} = (x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}y^{2} - 4y + 4 = x^{2} + 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}y^{2} - 4y + 4 - x^{2} - 6x - 9 - y^{2} + 8y - 16 = 0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}-x^{2} - 6x + 4y -21 = 0 \end{gathered}$

Portanto, a equação geral da curva é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}-x^{2} - 6x + 4y -21 = 0 \end{gathered}$

Se você quiser, pode isolar o "y" no primeiro membro, obtendo a seguinte equação:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = 0,25x^{2} + 1,5x + 5,25 \end{gathered}$

Portanto, esta curva é uma:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}Par\acute{a}bola \end{gathered}$

Saiba mais:

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