Question

Identifique a superfície quadrática dada por 4x²-y²+2z²+4=0 e comente sua intersecção com os planos coordenados xy, xz, e yz.

Answer 1

De acordo com os cálculos realizados, podemos dizer esta quadrática trata-se de um hiperboloide de duas folhas distribuído sobre o eixo y. As interseções com os planos coordenadas são:

• Plano xy: uma hipérbole;
• Plano xz: não há intersecção;
• Plano yz: uma hipérbole.

Explicação

Temos a seguinte expressão de uma superfície quadrática $\bf 4x^2-y^2+2z^2+4=0$.

Para determinarmos qual quadrática ela é, devemos primeiro deixar no formato padrão, que é basicamente separar as variáveis em um membro e no outro uma constante. Como por exemplo a expressão $\bf x^2+y^2+z^2=1$.

$\Longrightarrow \: 4x {}^{2} - y {}^{2} + 2z {}^{2} + 4 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longrightarrow \: ( - 4x {}^{2} + y {}^{2} - 2z {}^{2} = 4 ) \: . \: \left( \frac{1}{4} \right)$

Vamos multiplicar todos os termos da expressão por um quarto, para podemos gerar o número 1 depois da igualdade.

$\Longrightarrow - \frac{4x {}^{2} }{4} + \frac{y {}^{2} }{4} - \frac{2z {}^{2} }{4} = \frac{4}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longrightarrow - \frac{x {}^{2} }{1} + \frac{y {}^{2} }{4} - \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Expressões das quadráticas:

Tendo feito isto, devemos fazer a associação desta expressão com as equações das quadráticas mais conhecidas, sendo elas:

$\begin{cases}I) \: x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} = c \\ \\ II) \large\: \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{z {}^{2} }{c {}^{2} } = 1 \\ \\ III) \large\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = \: \frac{z}{c} \end{cases} \: \: \: \begin{cases} IV) \large \: \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = \frac{z}{c} \\ \\ V) \: \large \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = \frac{z {}^{2} }{c {}^{2} } \\ \\ VI) \: \large \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } - \frac{z {}^{2} }{c {}^{2} } = 1 \\ \\ VII) \large \: - \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{z {}^{2} }{c {}^{2} } = 1 \end{cases}$

• Onde I) é a esfera, II) é o elipsóide, III) paraboloide elíptico, IV) paraboloide hiperbólico, V) cone, VI) hiperboloide de uma folha e VII) hiperboloide de duas folhas.

Observe que a equação que encontramos através da padronização se assemelha bastante com a VII) que é um hiperboloide de duas folhas. O sinal negativo em outra posição quer dizer que o hiperboloide está em uma configuração diferente da apresentada pela equação VII). Portanto podemos concluir que a quadrática em questão é um hiperboloide de duas folhas.

• Intersecções

Intersectar um plano quer dizer zerar uma das coordenadas, já que cada plano depende apenas de duas coordenadas. Como por exemplo, o plano xy é dado pela dependência de x e y.

$\begin{cases}Plano \: xy \: \to \: z = 0 \\ Plano \: xz \: \to \: y = 0 \\ Plano \: yz \: \to \: x = 0\end{cases}$

Agora vamso aplicar esta ideia na quadrática que possuimos.

________________________________

$\underbrace{Plano \: xy}_{z=0}\begin{cases} - x {}^{2} \large + \frac{y {}^{2} }{4} - \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \\ \\ - x {}^{2} + \large \frac{y {}^{2} }{4} = 1 \\ \\ \large\frac{y {}^{2} }{4} - \frac{x {}^{2} }{1} = 1 \end{cases}$

Como podemos ver, a intersecção com o plano gera uma hipérbole de eixo real sobre o eixo y, com equação no formato $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

________________________________

$\underbrace{Plano \: xz}_{y=0}\begin{cases} - x {}^{2} \large + \frac{y {}^{2} }{4} - \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \\ \\ - x {}^{2} - \large \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \\ \end{cases}$

Não existe nenhuma cônica que seja representada por esta equação, então podemos dizer que neste plano não há interseção.

________________________________

$\underbrace{Plano \: yz}_{x=0}\begin{cases} - x {}^{2} \large + \frac{y {}^{2} }{4} - \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \\ \\ \large \frac{y {}^{2} }{4} - \large \frac{z {}^{2} }{2} = 1 \\ \end{cases}$

A intersecção com este plano gera outra hipérbole, só que desta vez possuindo o eixo real sobre o eixo x. Dada por$\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$.

________________________________

Espero ter ajudado.

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/24128904

https://brainly.com.br/tarefa/13322257