Question

Identifique a série com uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica e calcule o valor da soma.$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{x-2}} - \frac{1}{3^{x+2} }$

Answer 1

Temos o seguinte :

$\fbox {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{x-2}} - \frac{1}{3^{x+2} } }$

Vamos substituir os valores de x e observar se há algum padrão.

substituindo n = 1 :

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{2^{1-2}} - \frac{1}{3^{1+2}} \to \frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3^3} \to 2 - \frac{1}{27} }$

substituindo x = 2 :

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{2^{2-2}} - \frac{1}{3^{2+2}} \to \frac{1}{2^0} - \frac{1}{3^4} \to 1 - \frac{1}{81} }$

lembrando que : como é um somatória vamos acrescentar o valor que encontrarmos em x = 1. Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle 2 - \frac{1}{27} + 1 - \frac{1}{81} }$

substituindo x = 3 :

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{2^{3-2}} - \frac{1}{3^{3+2}} \to \frac{1}{2^1} - \frac{1}{3^5} \to \frac{1}{2} - \frac{1}{243} }$

Somando com os resultados anteriores :

$\fbox{\displaystyle 2 - \frac{1}{27} + 1 - \frac{1}{81} + \frac{1}{2} - \frac{1}{243} + ... }$

Perceba que há um padrão. Só reescrevendo de uma forma diferente :

$\fbox{\displaystyle 2 +1 +\frac{1}{2} + ... - \frac{1}{27} - \frac{1}{81} - \frac{1}{243} - ... }$

Note que temos duas somas de termos infinitos de Progressões geométricas.

A primeira P.G temos :

$A_1 = 2$ e $q = \frac{1}{2}$

Onde : a soma dos termos infinita é dada por :

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{A_1}{1 - q } }$

Então vamos calcular a soma de termos dessa P.G, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} \to S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}} \to S_{\infty} = 4 }$

Pronto.

Agora vamos calcular a segunda P.G onde :

$A_1 = \frac{-1}{27}$ e $q = \frac{1}{3}$

substituindo na fórmula da soma dos infinitos termos :

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{\frac{-1}{27}}{1 - \frac{1}{3} } \to S_{\infty} = \frac{\frac{-1}{27}}{\frac{2}{3}} \to S_{\infty} = \frac{-1}{27}.\frac{3}{2} }$

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{-1}{27}.\frac{3}{2} \to S_{\infty} = \frac{-1}{18} }$

Então aquele somatória ficará da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle ( 2 +1 +\frac{1}{2} + ... - \frac{1}{27} - \frac{1}{81} + \frac{1}{2} - \frac{1}{243} - ... ) \to 4 - \frac{1}{18} }$

Então concluímos que :

$\fbox {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{x-2}} - \frac{1}{3^{x+2} } = 4 -\frac{1}{18} }$

$\fbox {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{x-2}} - \frac{1}{3^{x+2} } =\frac{71}{18} \approx 3,95 }$