Question

Identifique a quadrática seguinte e esboce o gráfico:

9x²- 4y² + 36z² - 18x - 16y - 43 = 0

Answer 1

Olá.

Vamos colocar o valor que acompanha cada termo quadrado em evidência, junto aos valores de mesmo termo:

9x² - 18x = 9(x² - 2x) = 9[(x-1)² - 1] = 9(x-1)² - 9

-4y² - 16y = -4(y² + 4y) = -4[(y+2)²-4] = -4(y+2)²+16

36z² está ok :)

Com isso, a expressão pode ser reescrita como:

9(x-1)² - 9 -4(y+2)² + 16 + 36z² - 43 = 0

9(x-1)² - 4(y+2)² + 36z² -36 = 0

Façamos uma translação:

x' = x - 1
y' = y+2
z' = z

Logo, temos:

9x'² - 4y'² + 36z'² = 36

Dividimos por 36:

x'²/2² - y'²/3² + z'²/1² = 1

Um sinal de menos e igualado a 1. É um hiperboloide de uma folha.

Para fazer um esboço do gráfico, veja que o centro da figura será em  (1, -2, 0).

No plano x = 1, faça a hipérbole z² - (y+2)²/9 = 1  (fizemos x = 1)

No plano y = -2, montamos a elipse (x-1)²/4 + z² = 1   (fazemos y = -2 na equação)

No plano z = 0, montamos a hipérbole (x-1)²/4 - (y+2)²/9 = 1 (fazemos z = 0 na equação)

Assim, teremos o esqueleto da quádrica, e se preenchermos com elipses no eixo x', teremos a quádrica em si. Essas construções estão no anexo.

Bons estudos :)