Question

Identifique a posição da reta (S) x +y +3= 0 em relação a circunferência (y) x²+y²-4x-2y-13=0 e determine, se houver, o ponto de intersecção. ​

Answer 1

Vamos inicialmente reescrever a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^2-4x+y^2-2y=13$

$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=13$

$(x-2)^2+(y-1)^2=13+5$

$(x-2)^2+(y-1)^2=18$

Daí tiramos que o centro da circunferência é o ponto (2, 1) e a medida do seu raio é $r=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ u.c}$. Para determinar a posição relativa da reta, devemos inicialmente calcular a distância dessa reta até o centro da circunferência.

A distância de uma reta de equação $ax+by+c=0$ até um ponto $(x_p,y_p)$ é dado pela fórmula:

$d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores:

$d=\frac{|1\cdot2+1\cdot1+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$d=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\text{ u.c}$

Como $d=r$, concluímos que a reta é tangente à circunferência, interceptando-a apenas em um ponto. A partir da equação da reta, podemos dizer que $x=-y-3$. Substituindo este valor na equação da circunferência:

$(-y-3-2)^2+(y-1)^2=18$

$(-y-5)^2+(y-1)^2=18$

$y^2+10y+25+y^2-2y+1=18$

$2y^2+8y+8=0$

$y^2+4y+4=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$y=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot4}}{2}$

$y=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2}=-2$

Esta é a coordenada em y do ponto de interseção. Para achar a coordenada em x, basta substituir o valor encontrado na equação da reta, achando assim que $x=-(-2)-3=-1$, concluindo assim que o ponto de interseção é o ponto (-2, -1).