Question

Identifique a curva abaixo e parametrize: 2x²+2y²+5x+2y-3=0

Answer 1

Para identificar a curva e parametrizá-la, vamos começar por dividir a equação por $2$:

$2x^2 + 2y^2 + 5x + 2y - 3 = 0 \iff x^2 + y^2 + \dfrac{5}{2}x + y - \dfrac{3}{2} = 0.$

Vamos agora somar e subtrair $\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16}$ ao lado esquerdo:

$x^2 + \dfrac{5}{2}x + \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 - \dfrac{25}{16}+ y^2 + y - \dfrac{3}{2} = 0.$

Identificamos agora o caso notável do quadrado do binómio:

$\underbrace{x^2 + 2\times\dfrac{5}{4}x + \left(\dfrac{5}{4}\right)^2}_{=\left(x + \frac{5}{4}\right)^2} - \dfrac{25}{16}+ y^2 + y - \dfrac{3}{2} = 0 \iff \left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 + y^2 + y - \dfrac{49}{16} = 0.$

Vamos agora somar e subtrair $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ ao lado esquerdo:

$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 + y^2 + y + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{49}{16} = 0.$

Identificamos agora o caso notável do quadrado do binómio:

$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 +\underbrace{y^2 + 2\times \dfrac{y}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2}_{=\left(y + \frac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{49}{16} = 0 \iff\\\\\iff \left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 + \left(y + \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{53}{16}.$

Temos agora a equação na forma:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2,$

que corresponde a uma circunferência de centro no ponto de coordenadas $(x_0, y_0)$ e raio $r$. Comparando, temos:

$\begin{cases}x_0 =-\dfrac{5}{4}\\\\y_0 = - \dfrac{1}{2}\\\\ r^2 = \dfrac{53}{16}\end{cases}.$

Portanto, a curva é uma circunferência de centro no ponto de coordenadas $\left(-\dfrac{5}{4}, -\dfrac{1}{2}\right)$ e raio:

$r = \sqrt{\dfrac{53}{16}} = \dfrac{53}{4}.$

A parametrização natural da circunferência é feita utilizando as funções seno e cosseno, com $\theta \in [0, 2\pi]$:

$\begin{cases}x-x_0 = r\cos\theta \\\\ y - y_0 = r\sin\theta\end{cases} \iff \begin{cases}x = x_0 + r\cos\theta \\\\ y = y_0 + r\sin\theta\end{cases}.$

Note que a fórmula fundamental da trigonometria $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ garante o pretendido:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = (r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2\underbrace{(\cos^2\theta + \sin^2 \theta)}_{=1} = r^2.$

Substituindo os valores, temos então a parametrização dada por $\vec{\gamma}: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2$ dada por:

$\vec{\gamma}(\theta) = \left(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta\right) = \left(-\dfrac{5}{4} + \dfrac{53}{4}\cos\theta, - \dfrac{1}{2} + \dfrac{53}{4}\sin\theta\right).$