Question

identificar a equação do lugar geometrico de um ponto que se move de modo que a sua distancia ao ponto p(2,-1) é igual a 3 vezes a sua distancia á reta y+1=0. gente preciso dos cálculos bem detalhado.valeu

Answer 1

Distância de um ponto do LG ao ponto P:

$d_1=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$

Distãncia de um ponto do LG à reta y + 1 = 0:

$d_2=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \\ d_2=\frac{|0x+1y+1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y+1|$

A equação procurada é:

$\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=(3(|y+1|)^2\\ \\ (x-2)^2+(y+1)^2=9(y^2+2y+1)\\ \\ x^2-4x+4+y^2+2y+1=9y^2+18y+9\\ \\ x^2-4x+4+y^2+2y+1-9y^2-18y-9=0\\\\ \\ \boxed{x^2-8y^2-4x-16y-4=0}$

Answer 2

Resposta:

d²=(2-x)²+(-1-y)²

d²=4-4x+x²+1+2y+y²

distância do ponto (2,1) a reta y+1=0

d'=|y+1|/√(0²+1²) =|y+1| =√(y+1)²

d=√[4-4x+x²+1+2y+y²]

√[4-4x+x²+1+2y+y²] =3√(y+1)²

4-4x+x²+1+2y+y² =3²*(y+1)²

4-4x+x²+1+2y+y² =9*(y²+2y+1)

4-4x+x²+1+2y+y² =9y²+18y+9

-4x+x²=8y²+16y+4

x²-8y²-4x-16y-4=0

(x-2)²-4 -8*(y²+2) -4=0

(x-2)²-4 -8*(y²+2y +4-4) -4=0

(x-2)²-4 -8*(y+2)²+32 -4=0

(x-2)² -8*(y+2)²+28=0

8(y+2)²-(x-2)²=28

(y+2)²/(7/4)  -(x-2)²/28= 1  é um hipérbole