Question

Identidades Trigonométricas:
a) tg x . sen 2 x = 2 sen² x
b) tg x . cotg x = tg x . cossec² x
c) 1 + tgx . tg 2x =  sec 2x

Answer 1

a) $\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{sen\,}2x=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x$
 
$\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot (2\mathrm{\,sen\,}x\cos x)=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \\ \dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\cos x}{\cos x}=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x$


Sabendo que $\cos x \neq 0,$ simplificamos o $\cos x$ no numerador e no denominador, e chegamos a

$2\,\mathrm{sen^{2}\,}x=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x$


A identidade acima é válida.


b) $\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cotg\,}x=\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x$

$1=\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x\\ \\ 1=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^{2}\,}x}\\ \\ \\ 1=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x\cdot \cos x}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x=1$


Multiplicando os dois lados por $2,$ chegamos a

$2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x=2\\ \\ \mathrm{sen\,}2x=2\;\;\;\;(\text{absurdo})$


A igualdade acima é um absurdo no conjunto dos números reais, pois não existe arco real cujo seno é $2.$ Logo, a identidade é inválida, e ainda mais, ela é absurda.


c) $1+\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{tg\,}2x=\sec 2x$

$1+\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{\mathrm{sen\,}2x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ 1+\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x\cos x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ 1+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\cos x}{\cos x\cdot \cos 2x}=\sec 2x$


Como temos que $\cos x \neq 0,$ podemos simplificar o fator $\cos x$ no numerador e no denominador, chegando a

$1+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x$


Reduzindo os termos do lado esquerdo ao mesmo denominador,

$\dfrac{\cos 2x}{\cos 2x}+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{\cos 2x+2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{(\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2\,}}x)+2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2\,}}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{1}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \sec 2x=\sec 2x$


A identidade acima é válida.