Question

Identidade Trigonométrica: (sec x - tg x)^2 = 1-sen x/1+sen x

Answer 1

Provar a identidade trigonométrica

   (sec x − tg x)² = (1 − sen x)/(1 + sen x)

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Vamos partir do lado esquerdo, e aplicar as definições para secante e tangente:

   $(\sec x-\mathrm{tg\,}x)^2\\\\ =\left(\dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\\\\\\ =\left(\dfrac{1-\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\\\\\\ =\dfrac{(1-\mathrm{sen\,}x)^2}{\cos^2 x}$



Mas cos²x = 1 − sen² x. Então a expressão acima fica

   $=\dfrac{(1-\mathrm{sen\,}x)^2}{1-\mathrm{sen^2\,}x}$



No denominador, fatore a diferença entre quadrados, usando produtos notáveis:

   $=\dfrac{(1-\mathrm{sen\,}x)^2}{(1-\mathrm{sen\,}x)(1+\mathrm{sen\,}x)}\\\\\\ =\dfrac{(1-\mathrm{sen\,}x)(1-\mathrm{sen\,}x)}{(1-\mathrm{sen\,}x)(1+\mathrm{sen\,}x)}$



Simplificando o fator comum no numerador e no denominador, finalmente obtemos

   $=\dfrac{1-\mathrm{sen\,}x}{1+\mathrm{sen\,}x}$

como queríamos demonstrar.



Bons estudos! :-)