Question

(i)Use a definição para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com coordenada x=a.(ii)Estabeleça a equação da reta tangente em P.(iii)Esboce o gráfico da curva e da tangente em P

  

b)

 

$y=\sqrt[3]{x}$

 

 

VAI QUE É TUA CÉLIO ;D

Answer 1

Dexter, segue a solução.

 

$<var>f ' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}h</var>$

Como  $<var>a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)</var>$  e fazendo

 

$\boxed{<var>a=\sqrt[3]{x+h}=(x+ h)^{\frac13}} \text{ e } \boxed{b=\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}},</var>$  temos que:

$<var>\underbrace{(x+h)-x}_{a^3 - b^3}=\underbrace{[(x+ h)^{\frac13}-x^{\frac13}]}_{(a-b)} \cdot \underbrace{[(x+ h)^{\frac23}+(x+ h)^{\frac13} \cdot x^{\frac13} +x^{\frac23}]}_{(a^2+ab+b^2)}\\\\ \Rightarrow \frac{[(x+ h)^{\frac13}-x^{\frac13}]}{h}=\frac{1}{[(x+ h)^{\frac23}+(x+ h)^{\frac13} \cdot x^{\frac13} +x^{\frac23}]}</var>$

 

$<var>\Rightarrow \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{[(x+ h)^{\frac23}+(x+ h)^{\frac13} \cdot x^{\frac13} +x^{\frac23}]}=\\\\ =\frac{1}{[(x+0)^{\frac23}+(x+0)^{\frac13} \cdot x^{\frac13} +x^{\frac23}]}=</var>$

 

$<var>=\frac{1}{x^{\frac23}+x^{\frac23}+x^{\frac23}}=\frac{1}{3x^{\frac23}}=\boxed{\frac13x^{-\frac23}}</var>$

 

O coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação em um ponto determinado e a respectiva equação da reta tangente são obtidos a partir da derivada da função neste ponto.