Question

I) Resolva a seguinte equação diferencial:
$xy(1+x {}^{2} )dy=y(2t+3)dt$
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Answer 1

Olá, boa noite!

• Essa tarefa é sobre equação diferencial ordinária, ou simplesmente EDO.

• As EDOs separáveis são equações que podem ser escritas na forma:

       f(x) dx = g(y) dy

Sem mais delongas, vamos a solução!

Solução:

Queremos determinar as soluções da EDO

$\mathsf{xy(1+x^2)\,dy=y(2t+3)\,dt}$

onde assumimos que y é uma função de t, isto é, y = y(t)

Divida os dois lados da equação por dt:

$\mathsf{xy(1+x^2)\,\dfrac{dy}{dt}=y(2t+3)\,\dfrac{dt}{dt}}\\\\\mathsf{xy(1+x^2)\,\dfrac{dy}{dt}=y(2t+3)}$

Para deixar a explicação mais didática, vou fazer a substituição dy/dt = y', e depois eu retorno nesse ponto. Temos, portanto:

$\mathsf{xy(1+x^2)\,y'=y(2t+3)}\\\\\mathsf{xyy'+x^3yy'=2yt+3y}\\\\\mathsf{xyy'+x^3yy'-2yt-3y=0}$

Coloque a função y em evidência; logo:

$\mathsf{y\cdot (xy'+x^3y'-2t-3)=0}$

Como o produto de dois fatores é zero, certamente devemos ter:

$\mathsf{y=0}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y_1(t)=0}}$

que é a primeira solução da EDO.

Além disso, é verdade que o segundo fator também pode ser nulo, ou seja:

$\mathsf{xy'+x^3y'-2t-3=0}$

Coloque y' em evidência e reagrupe os termos:

$\mathsf{y'(x+x^3)-2t-3=0}$

$\mathsf{y'(x+x^3)=2t+3}$

$\mathsf{y'=\dfrac{2t+3}{x^3+x}}$

Logo nosso problema se resume a resolver a equação separável:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2t+3}{x^3+x}}}$

Portanto:

$\mathsf{(x^3+x)\,dy=(2t+3)\,dt}$

$\displaystyle \mathsf{\int (x^3+x)\,dy=\int (2t+3)\,dt}\\\\\mathsf{y\cdot(x^3+x)+c_1=\dfrac{2t^2}{2}+3t+c_2}\\\\\mathsf{y\cdot(x^3+x)=t^2+3t+C}$

$\mathsf{y=\dfrac{t^2+3t}{x^3+x}+\dfrac{C}{x^3+x}}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y_2(t)=\dfrac{t^2+3t}{x^3+x}+C'}} \quad \mathsf{onde\quad C'=\dfrac{C}{x^3+x}}$

que é a segunda solução da EDO.

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO separável

https://brainly.com.br/tarefa/37991892

Bons estudos!

Equipe Brainly