Question

I) Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
$\frac{dy}{dt} = \frac{1 - y^{2} }{yt}$
Eu consigo ir até essa parte do cálculo:
$\frac{y}{1 - y {}^{2} } dy = \frac{dt}{t} \\ \\ \int \frac{y}{1 - y {}^{2} } dy = \int \frac{dt}{t} \\ \\ - \frac{1}{2} \ln( |1 - y {}^{2} | ) = \ln( |t| ) + c_1$
Como prosseguir o cálculo?, pelo que eu vi a resposta é:
$\boxed{y = \pm\frac{ \sqrt{c_1+ t {}^{2} } }{t}}$

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Answer 1

$\displaystyle - \frac{1}{2}.\text{ln}(|1-\text y^2|}) = \text{ln}(|\text t |)} + \text c_1$

multiplica os dois lados por -2 :

$\displaystyle \text{ln}(|1-\text y^2|}) = -2.\text{ln}(|\text t |)} - 2\text c_1$

$\displaystyle \text{ln}(|1-\text y^2|}) =\text{ln}(|\text t |)^{-2}} - 2\text c_1$

aplicando a definição de logaritmos :

$\displaystyle 1-\text y^2 =\text{e}^{\displaystyle ( \text{ln}(|\text t |)^{-2} - 2\text c_1 ) }$

$\displaystyle 1-\text y^2 = \frac{\text{e}^{\text{ln}(\text t)^{-2}}}{\text{e}^{2\text c_1}}$

sabendo que :

$\displaystyle \text e^{\text {ln}(\text t)^{-2}}} = \text (t)^{-2}$

$\text e^{2\text c_1} = \text c_1$ ( "a constante é constante" )

temos :

$\displaystyle 1-\text y^2 = \frac{\text{t}^{-2}}{\text c_1}$

$\displaystyle 1-\text y^2 = \frac{1}{\text t^2}.\frac{1}{\text c_1}$

sobre a constante :

$\displaystyle \frac{1}{\text c_1} = \text c_1$ ( a constante permanece constante)

$\displaystyle 1-\text y^2 = \frac{\text c_1}{\text t^2}$

$\displaystyle \text y^2-1 = -\frac{\text c_1}{\text t^2} \to \text y^2 = 1 - \frac{\text c_1}{\text t^2}$

$\displaystyle \text y^2 = \frac{\text t^2 - \text c_1}{\text t^2}$

$\huge\boxed{\bold{\displaystyle \text y = \pm \frac{\sqrt{\text t^2 - \text c_1}}{\text t}}}$

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1-y^2}{y\cdot t}$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$\dfrac{y}{1-y^2}\,dy=\dfrac{dt}{t}$

Integre ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int\dfrac{y}{1-y^2}\,dy=\int\dfrac{dt}{t}}$

Na primeira integral, faça uma substituição $u=1-y^2$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial $dy$:

$(u)'=(1-y^2)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(y)$ é dita implícita e calculada pela regra da cadeia.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(y)\pm g(y))'=f'(y)\pm g'(y)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(y^n)'=n\cdot y^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e da soma

$1\cdot u^{1-1}\cdot u'=(1)'-(y^2)'$

Some os valores no expoente e multiplique os termos. Aplique a regra da constante e da potência.

$1\cdot u^0\cdot u'=0-2\cdot y^{2-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dy}=-2y$

Isolamos o diferencial $dy$

$y\,dy=-\dfrac{du}{2}$

Então, teremos:

$\displaystyle{\int\dfrac{-\dfrac{du}{2}}{u}=\int\dfrac{dt}{t}}\\\\\\ \displaystyle{-\dfrac{1}{2}\cdot\int\dfrac{du}{u}=\int\dfrac{dt}{t}}$

Calcule as integrais, sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$

$-\dfrac{1}{2}\cdot(\ln|u|+C_1)=\ln|t|+C_2$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição

$-\dfrac{\ln|1-y^2|}{2}-\dfrac{C_1}{2}=\ln|t|+C_2$

Some $\dfrac{C_1}{2}$ em ambos os lados da igualdade e considere $C_2+\dfrac{C_1}{2}=C_3$

$-\dfrac{\ln|1-y^2|}{2}=\ln|t|+C_3$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $(-2)$ e considere $-2C_3=C_4$

$\ln|1-y^2|=-2\ln|t|+C_4$

Então, lembrando que a base do logaritmo natural é o número de Euler ($e\approx 2.71828...$), aplicamos a propriedade $\log_c(a)=b\Rightarrow a=c^b$, para todo $0<c\neq1,~a,~b>0$.

$|1-y^2|=e^{-2\ln|t|+C_4}$

Aplique a propriedade de potências: $a^{b+c}=a^b\cdot a^c,~\forall a,~b,~c\neq0$

$|1-y^2|=e^{-2\ln|t|}\cdot e^{C_4}$

Aplique as propriedades de potências: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ e $a^{\log_a(b)}=b,~a,~b\neq0$

$|1-y^2|=\dfrac{1}{e^{2\ln|t|}}\cdot e^{C_4}\\\\\\ |1-y^2|=\dfrac{1}{(e^{\ln|t|})^2}\cdot e^{C_4}\\\\\\ |1-y^2|=\dfrac{1}{|t|^2}\cdot e^{C_4}$

Considere $e^{C_4}=C_5$ e multiplique os valores. Considere $|t|^2=t^2$.

$|1-y^2|=\dfrac{C_5}{t^2}$

Visto que buscamos uma solução da forma $y=y(t)$, assumimos apenas a solução positiva da equação modular:

$1-y^2=\dfrac{C_5}{t^2}$

Isole $y^2$ e some as frações

$y^2=1-\dfrac{C_5}{t^2}\\\\\\\ y^2=\dfrac{t^2-C_5}{t^2}$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade e considere $-C_5=C$

$y=\pm\sqrt{\dfrac{t^2+C}{t^2}}$

Aplique a propriedade de radicais $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},~b\neq0$

$y=\pm\dfrac{\sqrt{t^2+C}}{t}$

Estas são as soluções desta equação diferencial.