Question

I) Resolva a integral:
$(a) \int \limits_{0}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{2x - x {}^{2} } }$
​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado. E desculpa pela imagem não sei como usar a látex para colocar integral

Answer 2

Olá!!!!!!

• O que é Integral?

Serve para calcular a área de uma região não curva.

Existe dois tipos de Integrais:

1. Integral definida
2. Integral indefinida

Integral Definida é a área resultante de uma certa região, sendo o valor do resultado final.

Integral Indefinida é todas as funções que diferencia por uma constante c.

Temos o limite unilateral, que diz o f(x) aproxima-se no L quando x quando quisermos que cresce através de valores menores de a.

Integral Definido f de um intervalo a norma de partição vai zero na figura plana.

Com isso vamos ao exercício:

$\int\limits^2_0 {\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2} } }$

Isso pode ser representado como:

$\int\limits^2_0 {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx$

Essa função tem, no limite inferior e superior, uma descontinuidade infinita, então usamos:

$\int\limits^c_a f({x}) \, dx =\int\limits^b_a f({x}) \, dx +\int\limits^c_b f({x}) \, dx$ com $b = 0 + 1$, para transforma essa expressão.

$\int\limits^{0+1}_0 {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx +\int\limits^2_{0+1} {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx$

Temos que reescrever essa integral impróprio com limite unilateral e um integral definido.

Na primeira tem descontinuidade infinita o limite inferior $c = 0$ e no segundo no limite superior $c = 2$.

$(\int\limits^{0+1} _0 {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx ~, ~c = 0)+(\int\limits^2_{0+1} {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx ~, ~c=2)$

Podemos avaliar essa integral impróprio usando o limite unilateral e integral definido.

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits^{0+1} _a {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx )+ \lim_{a \to 2} (\int\limits^a_{0+1} {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx )$

Vamos calculas as integrais indefinida para definida.

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx) + \lim_{a \to 2^-} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2} } } \, dx )$

Soma e Subtraia com 1

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2-1+1} } } \, dx) + \lim_{a \to 2^-} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{2x-x^2-1+1} } } \, dx )$

Fatorize sinal negativo

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{-(x^2-2x+1)+1} } } \, dx) + \lim_{a \to 2^-} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{-(x^2-2x+1)+1} } } \, dx )$

Usa-se $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, já trocando o $+1$ de lugar.

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2} } } \, dx) + \lim_{a \to 2^-} (\int\limits {\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2)} } } \, dx )$

Usando $\int\limits {\frac{1}{\sqrt {a^2-x^2} } } \, dx =arcsen(\frac{x}{a} )$

$\lim_{a \to 0^+} (\int\limits arcsen {(x-1)} } } \)) + \lim_{a \to 2^-} (\int\limits {arcsen {(x-1)} } } \))$

Adicionando os limites de integração

$\lim_{a \to 0^+}( \begin{array}{r|l}arcsen(x-1) \end{array}^{(0+1)}_a } } \)) + \lim_{a \to 2^-} (\begin{array}{r|l}arcsen(x-1) \end{array}^{a}_{(0+1)} } } \))$

Usando $\begin{array}{r|l}f(x) \end{array}^{b}_a } } \)= F(b) - F(a)$

$\lim_{a \to 0^+}( (arcsen(0+1)-1)-arcsen(a-1)) } } \) + \lim_{a \to 2^-} (arcsen(a-1)-( arcsen(0+1)-1 } } \)))$

Calculando

$\lim_{a \to 0^+}( -arcsen(a-1) }) } \) + \lim_{a \to 2^-} (arcsen(a-1) } } \))$

Calculando limite

$-arcsen(0-1)+arcsen(2-1)$

Que resulta em

$\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$

Mesma base, então soma os numeradores

$\frac{\pi + \pi}{2}$

Somando

$\frac{2 \pi}{2}$

Reduzindo o 2 com 2

$\pi$

Resultado

Então, resolvendo a integral, resulta-se em π.

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