Question

i) Prove que: A área do paralelogramo determinado por dois vetores não-nulos é numericamente igual ao módulo do produto vetorial entre os tais dois vetores dados.

Answer 1

Imagine um paralelogramo qualquer com altura h, e os vetores û e â que o determinam, tendo um angulo qualquer θ compreendido entre os mesmos.

Supondo que o vetor â determine a base desse paralelogramo (ou seja, o vetor â é perpendicular à altura), podemos afirmar que a área do paralelogramo é igual a |â|.h. Por outro lado, por simples trigonometria, podemos deduzir que h = |û|.sin θ. Fica claro então que, a área do paralelogramo é:

A = |â|.|û|.sen θ.

Sabendo que |â x û| = |â|.|û|.|sen θ|, fica claro que

A = |â x û|,

já que 0 < θ < π, então |sen θ| = sen θ.

c.q.d.