Question

(i) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão
f(x) = x^4 − 2x^2 + 3

Answer 1

Dada a função:
$f(x)=x^4-2x^2+3$

Definindo pontos máximos e mínimos:
$f'(x)=4x^3-4x\\\\f'(x)=4x(x^2-1)\\\\4x = 0\\\boxed{x_1=0}\\ x^2-1=0\\x^2=1\\\boxed{x_2=-1}\\\boxed{x_3=+1}$

Encontrando os pontos:
$f(-1)=2 \\ f(0)= 3 \\ f(1)=2$

Então
P1(-1, 2) Mínimo
P2(0, 3)Máximo
P3(1, 2) Mínimo

Achando crescimentos:
$f'(-2)\ \textless \ 0 (decresce)\\ f'(-1/2)\ \textgreater \ 0(cresce)\\ f'(1/2)\ \textless \ 0(decresce)\\ f'(2)\ \textgreater \ 0(cresce)$

Pontos de inflexão e concavidades:
$f''(x)=12x^2-4\\\\12x^2-4=0\\\\12x^2=4\\\\x^2= \frac{4}{12} \\\\\boxed{x=+ \frac{1}{3}}\\\boxed{x=- \frac{1}{3}}$

Achando imagem do ponto em y
$f( \frac{1}{3})=2,7\\\\f( -\frac{1}{3})=-2,7$

Pontos de Inflexão
P¹(1/3, 2,7) = (0,33,  2,7)
P²(-1/3, 2,7) = (-0,33,  2,7)

Concavidades:
$f''(-0.5)\ \textless \ 0\\f''(-0.2)\ \textless \ 0\\f''(0.2)\ \textless \ 0\\f''(-0.5)\ \textless \ 0$
Todo o gráfico terá concavidade para baixo

Ik_Lob
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