Question

(i) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão
$f (x) = x^{4} - 2x^{2} + 3$

Answer 1

A análise gráfica pela função é feita pela análise de sua derivada primeira, e derivada segunda.
A derivada primeira nos dará os pontos críticos em x, e em quais regiões ela cresce ou decresce
A derivada segunda nos dará a concavidade e os pontos de inflexão!

Achando os pontos críticos com a derivada primeira:
$f'(x)=4x^3-4x\\\\0=4x(x^2-1)\\\\4x=0\\\boxed{x_1=0}\\x^2-1=0\\\boxed{x_2=+1}\\\boxed{x_3=-1}$
Como a derivada primeira é ao cubo. Logo, ela terá três raízes:

Usando os valores dos pontos críticos em x para achar sua imagem y na função original:
$f(-1)=x^4-2x^2+3 = 2\\\boxed{P_{c1}(-1, 2)}$
$f(0)=x^4-2x^2+3 = 3\\\boxed{P_{c2}(0, 3)}$
$f(1)=x^4-2x^2+3 = 2\\\boxed{P_{c3}(1, 2)}$
Podemos perceber que os pontos P1 e P3 são iguais e os de menor valor em 'y', sendo então pontos de mínimo
O ponto P2 tem o maior valor no eixo 'y' representando então o ponto de máximo

Colocando os pontos na reta x percebemos que neles são onde não há mudança na taxa de variação, ou seja, em todo o gráfico que acontece a sua volta ele cresce ou decresce. Usando alguns pontos que estão entre os pontos críticos em 'x' analisamos o sinal do resultado:
$f'(-3)\ \textless \ 0\\f'(-0.2)\ \textgreater \ 0\\f'(0.2)\ \textless \ 0\\f'(2)\ \textgreater \ 0$
Então:
antes de -1 ela DECRESCE
entre -1 e 0 ela CRESCE
entre 0 e 1 ela DECRESCE
depois de 1 ela CRESCE

Usando a derivada segunda para achar os pontos de inflexão. Faz-se do mesmo modo: Acha-se no eixo 'x' e depois achamos a imagem em 'y' jogando na equação original
$f''(x)=12x^2-4\\\\0=4(3x^2-1)\\\\4 \neq 0\\ou\\3x^2-1=0\\3x^2=1\\\boxed{x_1= \sqrt{ \frac{1}{3} }}\\\boxed{x_2= -\sqrt{ \frac{1}{3} }}$

Achando a imagem:
$f(\frac{1}{ \sqrt{3}})=x^4-2x^2+3 \approx 2.4\\\boxed{P_{I1}(\frac{1}{ \sqrt{3}}, 2.4)}\\\\ f(-\frac{1}{ \sqrt{3}})=x^4-2x^2+3 \approx -2.4\\\boxed{P_{I2}(-\frac{1}{ \sqrt{3}}, -2.4)}$
Nesses pontos acontece a mudança de concavidade, ou seja, há uma alternância do tipo de concavidade diferente do que estava antes. Se estava para cima, a partir desse momento ela fica para baixo, e vice versa.

Ainda usando a derivada segunda, pela análise dos pontos vizinhos achamos qual a concavidade que acontece antes e depois do ponto de inflexão
$f''(-0.8)\ \textgreater \ 0\\f''(0.4)\ \textless \ 0\\f''(0.8)\ \textgreater \ 0$
Então antes de -1/√3 há concavidade para CIMA
entre -1/√3 e 1/√3 há concavidade para BAIXO
depois de 1/√3 há concavidade para CIMA

$\boxed{Ik_Lob}$